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Also es sind in einem flugzeug 120 passagiere, davon sind 3 krank.
Es werden die leute in 20 gruppen zu 6 Personen eingeteilt.
Aus dem Blut der 6Personen einer Gruppe wird ein gemisch erstellt und dann auf krankheitserreger untersucht.
die Zufallsgröße x gibt die anzahl der Gruppen wieder, bei denen im gemisch Erreger gefunden wurden.
Es ist gegeben
X= 1 und P(X=1)=0,0014
X= 2 P(X=2)= ?
X= 3 P(X=3)=0,8768
Nun soll man die gegebenen, gerundeten Wahrscheinlichkeiten bestätigen und die übrige bestimmen .
P(X=2)=1-0,0014-0,8768= =0,1218
[mm] P(X=1)=\bruch{\vektor{20\\ 1}\*\vektor{3 \\ 3}\*\vektor{117 \\ 3}}{\vektor{120 \\ 6}}
[/mm]
Denn alle 3 Kranken sind in einer von 20 Gruppen
Aber jetzt, warum stimmt das nicht:
Es sind in 3 von 20 Gruppen je einer von 3 Kranken
[mm] P(X=3)=\bruch{\vektor{20\\ 3}\*\vektor{3 \\ 1}\*\vektor{117 \\ 5}}{\vektor{120 \\ 6}}
[/mm]
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> Also es sind in einem flugzeug 120 passagiere, davon sind 3
> krank.
> Es werden die leute in 20 gruppen zu 6 Personen
> eingeteilt.
> Aus dem Blut der 6Personen einer Gruppe wird ein gemisch
> erstellt und dann auf krankheitserreger untersucht.
>
> die Zufallsgröße x gibt die anzahl der Gruppen wieder,
> bei denen im gemisch Erreger gefunden wurden.
> Es ist gegeben
> X= 1 und P(X=1)=0,0014
> X= 2 P(X=2)= ?
> X= 3 P(X=3)=0,8768
>
> Nun soll man die gegebenen, gerundeten Wahrscheinlichkeiten
> bestätigen und die übrige bestimmen .
>
> P(X=2)=1-0,0014-0,8768= =0,1218
>
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> [mm]P(X=1)=\bruch{\vektor{20\\ 1}\*\vektor{3 \\ 3}\*\vektor{117 \\ 3}}{\vektor{120 \\ 6}}[/mm]
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> Denn alle 3 Kranken sind in einer von 20 Gruppen
>
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> Aber jetzt, warum stimmt das nicht:
> Es sind in 3 von 20 Gruppen je einer von 3 Kranken
>
> [mm]P(X=3)=\bruch{\vektor{20\\ 3}\*\vektor{3 \\ 1}\*\vektor{117 \\ 5}}{\vektor{120 \\ 6}}[/mm]
Hallo,
ich durchschaue deine Überlegungen nicht recht, die
dich zu obigen Formeln geführt haben.
Ich hätte aber einen einfachen Lösungsweg anzu-
bieten.
Beispiel mit P(X=3):
Personalisieren wir die 3 Kranken: A, B, C
A ist in irgendeiner der 20 Gruppen.
Die W'keit, dass dann B in einer anderen Gruppe
ist, ist gleich [mm] \frac{114}{119} [/mm] . Wenn dies der Fall ist,
beträgt die W'keit, dass C noch in einer anderen
Gruppe ist, gleich [mm] \frac{108}{118} [/mm] .
Zusammen genommen kommen wir so auf
$\ P(X=3)\ =\ [mm] \frac{114}{119}\,*\,\frac{108}{118}\ \approx\ [/mm] 0.8768 $
LG Al-Chw.
P.S.:
Obwohl dies eine Abi-Aufgabe war, ist sie natürlich inhaltlich
so ziemlich an den Haaren herbeigezogen. Mathematik-Lehrer,
welche die Lebensnähe von Mathematik mit derart unsinnigen
Beispielen belegen wollen, sollten sich nicht so sehr wundern,
wenn sie damit genau das Gegenteil erreichen, nämlich dass
viele ihrer Abi-Absolventen den Gedanken, irgendwo Mathematik
"im Leben" anwenden zu können, sogleich an den berühmten
Nagel hängen werden ...
LG Al-Chw.
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Bei deinem Denkmodell
dachtest du da an eine Reihe aus der ein Platz von 120 für A aufgewählt wurde.
6 Plätze nebeneinander bilden dann eine Gruppe und somit falen dann für B 6Plätze schon mal aus der Auswahl, um mit A nicht in einer Gruppe zu sein, ja? Bei C dasselbe...
oder wie hast du dir dass vogestellt?
Find ich echt faszinierend!
Ich dachte eher so:
P = [mm] \bruch{Anzahl günstiger Möglichkeiten }{Anzahl aller Möglichkeiten} [/mm]
Wobei alle Mögl eine beliebige 6er gruppe zu bilden sich zu [mm] \vektor{120 \\ 6} [/mm] ergibt
Die Möglichkeiten eine 6er gruppe mit 1 Kranken ergibt sich aus
[mm] \vektor{20 \\ 3} [/mm] (In welchen Gruppen sind die Kranken? In 3 von 20 eben)
[mm] \*
[/mm]
[mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] (Denn von den 3 Kranken ist in der jeweiligen Gruppe nur einer)
[mm] \*
[/mm]
[mm] \vektor{117 \\ 5} [/mm] (Denn um die 6er Gruppe voll zu machen müssen noch jeweils 5 aus den 117 Nicht-Kranken dazu)
So dacht ich mir das. Ich fand das klang auch iwie plausibel, zumal ich es bei P(X=1) ja genauso gerechnet hatte und es da ja auch stimmte...
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> Bei deinem Denkmodell
> dachtest du da an eine Reihe aus der ein Platz von 120 für
> A ausgewählt wurde.
> 6 Plätze nebeneinander bilden dann eine Gruppe und somit
> fallen dann für B 6 Plätze schon mal aus der Auswahl, um
> mit A nicht in einer Gruppe zu sein, ja? Bei C dasselbe...
Genau. Es werden quasi die 3 "Kranken-Lose" der Reihe
nach verteilt ... Das ist eine übliche Methode, wie man
bei einem Urnenmodell vorgehen kann.
> Ich dachte eher so:
> P = [mm]\bruch{\mbox{Anzahl günstiger Möglichkeiten} }{\mbox{Anzahl aller Möglichkeiten}}[/mm]
Die Formel ist natürlich richtig ...
> Wobei alle Mögl eine beliebige 6er gruppe zu bilden sich
> zu [mm]\vektor{120 \\ 6}[/mm] ergibt
... aber ich verstehe nicht recht, welche "Möglichkeiten"
du betrachtest. [mm] \vektor{120 \\ 6} [/mm] steht ja dafür, auf wie viele Arten
man aus den 120 Personen eine einzige Sechsergruppe
auswählen kann. Für den Fall X=3 (alle 3 Kranken in verschiedenen
Gruppen) kann ich mir nicht vorstellen, wie man auf diesem
Weg vorgehen kann.
> Die Möglichkeiten eine 6er gruppe mit 1 Kranken ergibt
> sich aus
>
> [mm]\vektor{20 \\ 3}[/mm] (In welchen Gruppen sind die Kranken? In
> 3 von 20 eben)
> [mm]\*[/mm]
> [mm]\vektor{3 \\ 1}[/mm] (Denn von den 3 Kranken ist in der
> jeweiligen Gruppe nur einer)
>
> [mm]\*[/mm]
> [mm]\vektor{117 \\ 5}[/mm] (Denn um die 6er Gruppe voll zu machen
> müssen noch jeweils 5 aus den 117 Nicht-Kranken dazu)
>
> So dacht ich mir das. Ich fand das klang auch iwie
> plausibel, zumal ich es bei P(X=1) ja genauso gerechnet
> hatte und es da ja auch stimmte...
Dass du bei der einen Teilaufgabe offenbar zum richtigen
Ergebnis gekommen bist, liegt daran, dass das eine einfachere
Situation als bei den Fällen X=2 oder X=3 ist.
Den Fall X=2 explizit durchzurechnen, ist übrigens auch nach
"meiner" Methode ein bisschen umständlich. Glücklicher-
weise kann man sich um diese Rechnung herumdribbeln,
wenn man einfach P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3) rechnet.
LG
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