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ln Funktion ableiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Mi 04.02.2009
Autor: PeterR

Aufgabe
ln(x)*(ln(x)-2)

Hallo!
Ich übe gerade fürs Vorabi in Mathe und muss schockierender Weise feststellen, dass ich es nicht mehr hinbekomme, eine ln Funktion vernünftig abzuleiten. Jedenfalls hab ich den ersten Schritt noch mühelos geschafft:

[mm] f'(x)=(\bruch{1}{x})(lnx-2)+lnx (\bruch{1}{x}) [/mm]

Und das, was eigentlich der einfachere Part sein sollte, sprich, das ganze zusammenzufassen, bekomm ich nicht hin.

Also das lnx [mm] (\bruch{1}{x}) [/mm] müsste ja [mm] \bruch{1}{x}lnx [/mm] ergeben, aber wie füg ich das jetzt mit dem was vor dem Plus steht zusammen? Oder kann ich das x bei [mm] \bruch{1}{x}ln [/mm] x einfach wegkürzen, sodass ich dann ln 1, also 0 rausbekomm? Is aber auch irgendwie komisch...


Gruß,
Peter

        
Bezug
ln Funktion ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Mi 04.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Peter,

> ln(x)*(ln(x)-2)
>  Hallo!
>  Ich übe gerade fürs Vorabi in Mathe und muss
> schockierender Weise feststellen, dass ich es nicht mehr
> hinbekomme, eine ln Funktion vernünftig abzuleiten.
> Jedenfalls hab ich den ersten Schritt noch mühelos
> geschafft:
>  
> [mm]f'(x)=(\bruch{1}{x})(lnx-2)+lnx (\bruch{1}{x})[/mm]
>  
> Und das, was eigentlich der einfachere Part sein sollte,
> sprich, das ganze zusammenzufassen, bekomm ich nicht hin.
>  
> Also das lnx [mm](\bruch{1}{x})[/mm] müsste ja [mm]\bruch{1}{x}lnx[/mm]
> ergeben, aber wie füg ich das jetzt mit dem was vor dem
> Plus steht zusammen? Oder kann ich das x bei [mm]\bruch{1}{x}ln[/mm]
> x einfach wegkürzen,

[schockiert]

bloß nicht!

> sodass ich dann ln 1, also 0
> rausbekomm? Is aber auch irgendwie komisch...

Du hast [mm] $f'(x)=\frac{1}{x}\cdot{}\left[\ln(x)-2\right]+\ln(x)\cdot{}\frac{1}{x}$ [/mm] heraus, was stimmt

Klammere hier [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] aus, dann kommst du auf

[mm] $...=\frac{1}{x}\cdot{}\left(\ln(x)-2+\ln(x)\right)$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{x}\cdot{}\left(2\ln(x)-2\right)=\frac{2}{x}\cdot{}\left(\ln(x)-1\right)$ [/mm]

> Gruß,
>  Peter

LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
ln Funktion ableiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:25 Mi 04.02.2009
Autor: PeterR

Ah, Ausklammer, natürlich! Wie einfach es doch manchmal sein kann... ^^

Vielen Dank!

Bezug
                        
Bezug
ln Funktion ableiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Mi 04.02.2009
Autor: PeterR

Ach mist, jetz steck ich bei der zweiten Ableitung fest. :(

Im Prinzip dasselbe Problem, nur bekomm ich das jetzt irgendwie nicht ausgeklammert.

Also ich hab da jetzt:
[mm] f''(x)=\bruch{1}{x}(2lnx-2)+\bruch{1}{x}*\bruch{2}{x} [/mm]

dann erstmal:
[mm] f''(x)=\bruch{1}{x²}(2lnx-2)+\bruch{2}{x²} [/mm]

muss ich da jetzt [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] ausklammern? Wenn ja, wie muss das dann aussehen? So?:
[mm] f''(x)=\bruch{1}{x²}(2lnx-2+2) [/mm]

Passt aber nicht so wirklich, weil am Ende
[mm] f''(x)=\bruch{1}{x²}(4-2lnx) [/mm] rauskommen soll...

Gruß,
Peter

Bezug
                                
Bezug
ln Funktion ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 Mi 04.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Ach mist, jetz steck ich bei der zweiten Ableitung fest.
> :(
>  
> Im Prinzip dasselbe Problem, nur bekomm ich das jetzt
> irgendwie nicht ausgeklammert.
>  
> Also ich hab da jetzt:
>  [mm] $f''(x)=\red{-}\bruch{1}{x^{\blue{2}}}(2lnx-2)+\bruch{1}{x}*\bruch{2}{x}$ [/mm]

Es ist [mm] $\left[\frac{1}{x}\right]'=-\frac{1}{x^2}$ [/mm]

Und ein Tippfehler

>  
> dann erstmal:
> [mm] $f''(x)=\red{-}\bruch{1}{x²}(2lnx-2)+\bruch{2}{x²}$ [/mm]
>  
> muss ich da jetzt [mm]\bruch{1}{x²}[/mm] ausklammern? [ok] Wenn ja, wie
> muss das dann aussehen? So?:
>  [mm]f''(x)=\bruch{1}{x²}(2lnx-2+2)[/mm]



Wegen des Vorzeichenfehlers wird das nun hier falsch - rechne nochmal nach, die Idee [mm] $\frac{1}{x^2}$ [/mm] auszuklammern, ist die richtige!

>  
> Passt aber nicht so wirklich, weil am Ende
> [mm]f''(x)=\bruch{1}{x²}(4-2lnx)[/mm] rauskommen soll...

Ja, das tut es (ohne den VZF)

>  
> Gruß,
>  Peter


LG

schachuzipus

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