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Forum "Differentiation" - ln Funktionen

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ln Funktionen: Korrektur

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	16:26 Do 20.05.2010
Autor:	Kubs

bitte korrigieren^^

f(x)=ln(ln(x))

[mm] f'(x)=\bruch{1}{ln(x)} \* \bruch{1}{x} [/mm]

[mm] f'(x)=\bruch{1}{ln(x)\*x} [/mm]

[mm] f'(x)=(ln(x)\*x)^{-1} [/mm]

[mm] f''(x)=-1(ln(x)\*x)^{-2} \* \bruch{1}{x} \* [/mm] x [mm] +ln(x)\*1 [/mm]

[mm] f''(x)=-1(ln(x)\*x)^{-2}+ln(x) [/mm]

[mm] f(x)=ln(e^{x}+e^{-2}) [/mm]
f(x)=x-x
f(x)=0

[mm] f(x)=\bruch{1}{ln(x)} [/mm]
[mm] f(x)=ln(x)^{-1} [/mm]
f(x)=-2ln(x) [mm] \* \bruch{1}{x} [/mm]
[mm] f''(x)=-\bruch{2}{x}\*\bruch{1}{x}-2ln(x)\*-x^{-2} [/mm]
[mm] f''(x)=-\bruch{2}{x^{2}}+2ln(x)\*x^{-2} [/mm]

[mm] f(x)=\wurzel[]{ln(x)} [/mm]
f(x)= [mm] ln(x)^{\bruch{1}{2}} [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}ln(x)^{-\bruch{1}{2}}\*\bruch{1}{x} [/mm]
[mm] f''(x)=-\bruch{1}{4}ln(x)^{-\bruch{3}{2}}\*\bruch{1}{x}\*\bruch{1}{x}+\bruch{1}{2}ln(x)^{-\bruch{1}{2}}\*-x^{-2} [/mm]
[mm] f''(x)=-\bruch{1}{4}ln(x)^{-\bruch{3}{2}}\*\bruch{1}{x^{2}}+\bruch{1}{2}ln(x)^{-\bruch{1}{2}}\*-x^{-2} [/mm]

[mm] f(x)=\wurzel[]{x}\*ln(x) [/mm]
[mm] f(x)=x^{\bruch{1}{2}}\*ln(x) [/mm]
[mm] f'(x)=x^{\bruch{1}{2}}\*\bruch{1}{x}+\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}\*ln(x) [/mm]

[mm] f(x)=x^{3}\*ln(2x) [/mm]
[mm] f'(x)=3x^{2}\*\bruch{1}{x}+x^{3}*\bruch{1}{x} [/mm]
[mm] f'(x)=3x+x^{2} [/mm]
f''(x)=3+2x

[mm] f(x)=(x+1)\*ln(x^{2}-1) [/mm]
[mm] f'(x)=1\*\bruch{1}{x^{2}-1}\*2x+(x+1)\*ln(x^{2}-1) [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{2}{x-1}+(x+1)\*ln(x^{2}-1) [/mm]

[mm] f(x)=\bruch{x^{2}}{ln(x)} [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{2x\*ln(x)-x^{2}*\bruch{1}{x}}{ln(x)^{2}} [/mm]

[mm] f(x)=ln(\bruch{1+x}{1-x}) [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1-x}{1+x} [/mm]

[mm] f(x)=ln(\bruch{e^{x}}{1+e^{x}}) [/mm]

[mm] f(x)=\bruch{x}{1+x} [/mm]

[mm] f'(x)=\bruch{1\*1+x-x\*1}{(1+x)^{2}} [/mm]

[mm] f'(x)=\bruch{1+x}{(1+x)^{2}} [/mm]

Bezug

ln Funktionen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	16:53 Do 20.05.2010
Autor:	schachuzipus

Hallo Kubs,

> bitte korrigieren^^
>
>
> f(x)=ln(ln(x))
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{ln(x)} \* \bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{ln(x)\*x}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=(ln(x)\*x)^{-1}[/mm]

>
> [mm] $f''(x)=-1(ln(x)\cdot{}x)^{-2} \cdot{} \red{\left(} \bruch{1}{x} \cdot{} [/mm] x [mm] +ln(x)\cdot{} [/mm] 1 [mm] \red{\right)}$ [/mm]

Hier musst du Klammern setzen!!

>
> [mm]f''(x)=-1(ln(x)\*x)^{-2}+ln(x)[/mm]

[mm] $f''(x)=-(\ln(x)\cdot{}x)^{-2}\red{\cdot{}}\left(\ln(x)+1\right)$ [/mm]

>
>
> [mm]f(x)=ln(e^{x}+e^{-2})[/mm]
> f(x)=x-x

Was genau machst du hier?

>  f(x)=0
>
>
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{ln(x)}[/mm]
>  [mm]f(x)=ln(x)^{-1}[/mm]
>  [mm] f(x)=\red{-2}lnx[/mm]  [mm]\* \bruch{1}{x}[/mm]

Woher kommt das [mm] $\red{-2}$ [/mm]

Du meinst sicher [mm] $f'(x)=-\left(\ln(x)\right)^{-2}\cdot{}\frac{1}{x}$ [/mm]

Das wäre richtig, kann man aber noch etwas "schöner" schreiben ...

>
> [mm]f''(x)=-\bruch{2}{x}\*\bruch{1}{x}-2ln(x)\*-x^{-2}[/mm]
>  [mm]f''(x)=-\bruch{2}{x^{2}}+2ln(x)\*x^{-2}[/mm]
>

Das ist wohl ein Folgefehler, rechne (und schreibe) nochmal sauber! mit Klammern und allem Pipapo

>
> [mm]f(x)=\wurzel[]{ln(x)}[/mm]
>  f(x)= [mm]ln(x)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>  [mm]f'(x)=\bruch{1}{2}ln(x)^{-\bruch{1}{2}}\*\bruch{1}{x}[/mm]

>
> [mm]f''(x)=-\bruch{1}{4}ln(x)^{-\bruch{3}{2}}\*\bruch{1}{x}\*\bruch{1}{x}+\bruch{1}{2}ln(x)^{-\bruch{1}{2}}\*-x^{-2}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=-\bruch{1}{4}ln(x)^{-\bruch{3}{2}}\*\bruch{1}{x^{2}}+\bruch{1}{2}ln(x)^{-\bruch{1}{2}}\*-x^{-2}[/mm]

>
>
>
>
> [mm]f(x)=\wurzel[]{x}\*ln(x)[/mm]
>  [mm]f(x)=x^{\bruch{1}{2}}\*ln(x)[/mm]
>
> [mm]f'(x)=x^{\bruch{1}{2}}\*\bruch{1}{x}+\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}\*ln(x)[/mm]

>
>
>
> [mm]f(x)=x^{3}\*ln(2x)[/mm]
>  [mm]f'(x)=3x^{2}\*\red{\bruch{1}{x}}+x^{3}*\bruch{1}{x}[/mm]

Das muss [mm] $\red{\ln(2x)}$ [/mm] stehen ...

>  [mm]f'(x)=3x+x^{2}[/mm]
>  f''(x)=3+2x

Folgefehler ...

>
>
> [mm]f(x)=(x+1)\*ln(x^{2}-1)[/mm]
>  [mm]f'(x)=1\*\red{\bruch{1}{x^{2}-1}\*2x}+(x+1)\*ln(x^{2}-1)[/mm]

Gleicher Fehler wie oben: [mm] $f'=u'\cdot{}\red{v}+u\cdot{}v'$, [/mm] nicht [mm] $\red{v'}$ [/mm] !!

>  [mm]f'(x)=\bruch{2}{x-1}+(x+1)\*ln(x^{2}-1)[/mm]

>
>
> [mm]f(x)=\bruch{x^{2}}{ln(x)}[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{2x\*ln(x)-x^{2}*\bruch{1}{x}}{ln(x)^{2}}[/mm]

noch vereinfachen ...

>
>
>
> [mm]f(x)=ln(\bruch{1+x}{1-x})[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{1-x}{1+x}[/mm]

Kettenregel! oder vereinfache zunächst f per Loggesetze:

[mm] $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$ [/mm]

Also [mm] $f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)$ [/mm]

Das lässt sich doch locker ableiten ...

>
>
>
> [mm]f(x)=ln(\bruch{e^{x}}{1+e^{x}})[/mm]
>
> [mm]f(x)=\bruch{x}{1+x}[/mm]

Das ist keine gültige Umformung, beachte das o.e. Loggesetz oder leite per Kettenregel direkt ab ...

>
> [mm]f'(x)=\bruch{1\*1+x-x\*1}{(1+x)^{2}}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1+x}{(1+x)^{2}}[/mm]

Folgefehler ...

Gruß

schachuzipus
>

Bezug

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