ln(x) und e^x < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:52 So 17.02.2008 | | Autor: | hybridkorn |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ihr lieben! Wollte fragen, ob :
Wenn man 2ln(x) hat und es nach x auflösen wird, dann rechnet man auf beiden Seiten der Gleichung ja: [mm] e^{2*ln(x)}.
[/mm]
Aber das kann doch nicht das selbe sein wie [mm] ln(x)^{2}! [/mm] Denn wenn man hier die selbe Prozedur durchführt würde ja ebenfalls [mm] :e^{2*ln(x)} [/mm] herauskommen.
2ln(x) ist aber nicht [mm] ln(x)^2. [/mm] welche der beiden Umformungen war falsch?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hey
> Hallo ihr lieben! Wollte fragen, ob :
> Wenn man 2ln(x) hat und es nach x auflösen wird, dann
> rechnet man auf beiden Seiten der Gleichung ja:
> [mm]e^{2*ln(x)}.[/mm]
Wo ist denn hier eine Gleichung? So wie du es formulierst wird man leider nicht schlau aus der Frage.
> Aber das kann doch nicht das selbe sein wie [mm]ln(x)^{2}![/mm]
> Denn wenn man hier die selbe Prozedur durchführt würde ja
> ebenfalls [mm]:e^{2*ln(x)}[/mm] herauskommen.
> 2ln(x) ist aber nicht [mm]ln(x)^2.[/mm] welche der beiden
> Umformungen war falsch?
Es gilt nur [mm] $ln(x^2)=2*ln(x)$
[/mm]
Also nochmal die ganze Gleichung schreiben, dann können wir dir auch helfen.
Gruß Patrick
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Ich habe keine konkrete Gleichung. Ich wollte nur deutlich machen, dass man wenn man nun eine Gleichung hätte, diese Gleichung ?"exponieren "?müsste, um (z.B.) die Nullstelle herauszubekommen . Und darauf bezieht sich meine Frage.
Ich möchte also [mm] (ln(x))^2 [/mm] exponieren dies wäre dann ja [mm] e^{2*ln(x)}
[/mm]
Wenn ich aber 2*ln(x) habe und das exponieren möchte, dann würde doch ebenfalls [mm] e^{2*ln(x)} [/mm] herauskommen.
Aber 2*ln(x) und [mm] (ln(x))^2 [/mm] sind doch nicht das selbe! Welche der beiden oberen Rechnungen habe ich demnach falsch gemacht?
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Hallo hybridkorn,
ja, es ist nicht dasselbe:
Nehmen wir 2 Gleichungen her und probieren's konkret aus:
(1) [mm] $2\ln(x)=y$ $\qquad \mid e^{(...)}$ [/mm] auf beiden Seiten
[mm] $\Rightarrow e^{2\ln(x)}=e^y$
[/mm]
[mm] $\gdw \left(e^{\ln(x)}\right)^2=e^y$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2=e^y$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x=\pm\sqrt{e^y}=\pm e^{\frac{y}{2}}$
[/mm]
(2) [mm] $\ln^2(x)=y$ $\qquad \mid \sqrt{...}$ [/mm] auf beiden Seiten
[mm] $\Rightarrow \ln(x)=\pm\sqrt{y}$ $\qquad \mid e^{(...)}$ [/mm] auf beiden Seiten
[mm] $\Rightarrow x=e^{\pm\sqrt{y}}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hi, und was genau ist nun richtig?
2*ln(x) \ [mm] e^{(...)}
[/mm]
= [mm] e^{2*ln(x)}
[/mm]
oder/und
[mm] (ln(x))^2 [/mm] \ [mm] e^{(...)}
[/mm]
== [mm] e^{2*ln(x)}
[/mm]
Denn es gibt doch das Logarithmusgesetz das besagt:
[mm] log_{a}b^r [/mm] = [mm] r*log_{a}b
[/mm]
P.S. Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen [mm] ln^2(x) [/mm] und [mm] (ln(x))^2 [/mm] ?
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Hallo nochmal,
> Hi, und was genau ist nun richtig?
> 2*ln(x) \ [mm]e^{(...)}[/mm]
> = [mm]e^{2*ln(x)}[/mm]
>
> oder/und
>
> [mm](ln(x))^2[/mm] \ [mm]e^{(...)}[/mm]
> == [mm]e^{2*ln(x)}[/mm]
>
> Denn es gibt doch das Logarithmusgesetz das besagt:
> [mm]log_{a}b^r[/mm] = [mm]r*log_{a}b[/mm]
Deine Frage kannst du dir mit diesem Loggesetz selber beantworten 
> P.S. Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen [mm]ln^2(x)[/mm]
> und [mm](ln(x))^2[/mm] ?
Nein, das ist dasselbe
Aber es ist [mm] $\ln^2(x)=\left(\ln(x)\right)^2\neq \ln\left(x^2\right)$
[/mm]
Auf den letzteren Ausdruck kannst du [mm] $e^{(..)}$ [/mm] anwenden.
Dann bekommst du [mm] \red{e^{\ln(x^2)}}=e^{2\ln(x)} [/mm] nach dem Loggesetz, das du oben hingeschrieben hast
Weiter [mm] e^{2\ln(x)}=\left[e^{ln(x)}\right]^2=\red{x^2} [/mm] (Potenzgesetz [mm] a^{bc}=\left(a^b\right)^c)
[/mm]
Wenn du auf [mm] \ln^2(x) [/mm] das [mm] e^{(..)} [/mm] anwendest, bekommst du mit den Potenzgesetzen:
[mm] $\blue{e^{\ln^2(x)}}=e^{\ln(x)\cdot{}\ln(x)}=\left[e^{ln(x)}\right]^{\ln(x)}=\blue{x^{ln(x)}}$
[/mm]
Und die roten und blauen Terme sind ziemlich verschieden
LG
schachuzipus
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Okay, danke, dann ist also
nur jene Rechnung richtig:(Nach deiner erklärung ist es eigentlich klar, brauche jedoch nochmal eine Bestätigung )
2*ln(x) \ [mm] e^{(...)}
[/mm]
= [mm] e^{2*ln(x)} =x^2
[/mm]
und die Rechnung:
[mm] (ln(x))^2 [/mm] \ [mm] e^{(...)}
[/mm]
= [mm] e^{2*ln(x)} [/mm] FALSCH, denn es ist: [mm] e^{ln(x)^2}= x^{ln(x)}
[/mm]
Richtig!?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Wenn ich deine Klammerstellungen und Potenzen richtig deute, dann ist das korrekt. Gib es doch einfach mal in den Taschenrechner ein. Oder schaue dir meine letzte Antwort an, da habe ich das nochmal zusammengefasst gerade.
Grüße
Oli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:03 Mo 18.02.2008 | | Autor: | hybridkorn |
Ja danke, hab die Antwort leider zu spät gesehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Um es mal auf den Punkt zu bringen:
Dein Fehler liegt darin, dass du aus [mm] e^{ln²(x)} [/mm] nicht [mm] e^{2ln(x)} [/mm] machen darfst, da sich das Quadrat nur auf das ln bezieht und nicht auf das gesamte e.
[mm] e^{2ln(x)} [/mm] erhältst du eben nur bei [mm] (e^{ln(x)})^2.
[/mm]
Grüße
Oli
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