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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - lösung einer dgl
lösung einer dgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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lösung einer dgl: substitution?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Do 28.01.2010
Autor: esteban_1986

Aufgabe
lösen sie folgende anfangswertprobleme: y''= y'^2/2y

http://www.math.tu-cottbus.de/INSTITUT/lsopt/lehre_neu/pickenh/ws09/TM_3_02.pdf

AUFGABE 6a

also ich glaube, dass man da was substituieren muss habe es schon mit y´=z und [mm] y^2=z [/mm] probiert. vllt kannmir jemand helfen
grüße esteban
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
lösung einer dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Do 28.01.2010
Autor: MathePower

Hallo esteban_1986,


[willkommenmr]


> lösen sie folgende anfangswertprobleme: y´´= y´^2/2y
>  
> [mm]http://www.math.tu-cottbus.de/INSTITUT/lsopt/lehre_neu/pickenh/ws09/TM_3_02.pdf[/mm]
> AUFGABE 6a
>  also ich glaube, dass man da was substituieren muss habe
> es schon mit y´=z und [mm]y^2=z[/mm] probiert. vllt kannmir jemand
> helfen


Die erstere Substitution ist die Richtige.

[mm]y'\left( x \right)=z\left( \ y\left(x\right) \ \right)[/mm]

Dann ist gemäß der Kettenregel:

[mm]y''\left(x\right)=z'\left( \ y\left(x\right) \ \right)*y'\left( x \right)=z'\left(y\right)*z[/mm]

Setze dies nun in die DGL ein:

[mm]y''=\bruch{y'^{2}}{y} \gdw z'*z=\bruch{z^{2}}{y}[/mm]

Und diese DGL kannst Du jetzt lösen.


>  grüße esteban
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.  


Gruss
MathePower

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lösung einer dgl: Rückfrage:
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 Do 28.01.2010
Autor: esteban_1986

also in der aufgabe steht auf der rechten seite: y´^2/2y. also habe ich dann [mm] z´*z=z^2/2y [/mm] , aber ich dachte bei der substituoin muss ich alle y durch z ausdrücken! um dann auf der rechten seiten nach x zu intergieren und links nach z.
viele grüße

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lösung einer dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 Fr 29.01.2010
Autor: leduart

Hallo
nein, du kannst nicht alle y ersetzen, du hast ja y'=z(y)
Im Hitergrund weisst du noch, dass y(x) abhängt.
als ergebnis hast du dann hoffentlich z=f(y)=y'
dann must du natürlich daraus noch y(x) berechnen.
Gruss leduart

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lösung einer dgl: noch eine rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 Fr 29.01.2010
Autor: esteban_1986

also ich hab mir das nochmal angeschaut, tut mir leid, dass ich das nicht ganz raffe!
ich hab also raus: z´ [mm] *z=z^2/2y [/mm]
wenn ich das umstelle und integrale davor schreibe: dz/z=dy/2y ( ich muss doch über y gehen oder?)
und nach dem inetegrieren hab ich: lnz=lny/2
um die ln wegzubekommen habe ich erstmal mit 2 multipliziert: [mm] lnz^2=lny [/mm]
komm sonit auf [mm] z=\wurzel{y} [/mm]
ich hab doch da bestimmt was falsch gemacht oder?

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lösung einer dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Fr 29.01.2010
Autor: leduart

Hallo

>  ich hab also raus: z´ [mm]*z=z^2/2y[/mm]
>  wenn ich das umstelle und integrale davor schreibe:
> dz/z=dy/2y ( ich muss doch über y gehen oder?)

Ja
da hast du falsch umgestellt!
[mm] dz/z^2=dy/2y [/mm]
noch besser
[mm] 2/z^2*dz=1/y [/mm] *dy
und jetzt weiter!
Gruss leduart

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lösung einer dgl: ups
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:15 Sa 30.01.2010
Autor: esteban_1986

also ich zweifel grad an mir!!! also erst schreiben(st) sie(du) [mm] z^2 [/mm] und dann steht nur noch (2/z)*dz da! und (2/z)*dz=(1/y)*dy ist doch das gleiche wie dz/z=dy/2y oder nicht???
ok, slebst wenn ich 2dz/z=dy/y rechne, wie sie/du es hingeschrieben haben/hast, komme ich doch auf 2lnz=lny+c. oder [mm] lnz^2=lny+c. [/mm]
und wenn ich nicht irre dann auf [mm] z^2=y*e^c [/mm]

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lösung einer dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:27 Sa 30.01.2010
Autor: leduart

Hallo
beim zweiten ist was mit dem editor schief gegangen, jetzt ists richtig, aber dass da [mm] z^2 [/mm] und nicht z steht solltest du doch selbst sehen können.
Gruss leduart
PS wir duzen uns hier alle

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