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| Aufgabe 1 | | z.z.: für alle x>-1 gilt: [mm] \bruch{x}{1+x} \le [/mm] log (1+x) |
| Aufgabe 2 | | für jedes a>0 gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n [mm] (\wurzel[n]{a} [/mm] - 1) = log a |
hallo zusammen,
zur ersten aufgabe vermute ich, dass die potenzreihe des log(1+x) eine rolle spielt. die ist ja x-x²/2+x³/3+... nun weiß ich irgendwie nicht, wie ich diese summe weiter vereinfachen kann - muss ich eine fallunterscheidung für negative, positive x machen? für x=0 gilt gleichheit.
zur zweiten aufgabe fällt mir gar keine hilfreiche vereinfachung ein. ich wäre für jeden tipp und jedes stichwort dankbar.
vielen dank im voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Mo 30.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Idee mit der korrekten Potenzreihe
[mm] \ln(1+x)\le\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}\bruch{x^{i}}{i}
[/mm]
ist meiner Meinung nach nicht wirklich sinnvoll.
Ich würde über die Steigung und die Monotonie argumentieren. Beide Funktionen (also [mm] f(x)=\bruch{x}{1+x} [/mm] und [mm] g(x)=\ln(1+x) [/mm] ) sind streng monoton steigend für x>-1 (Zeige das!)
Dazu Noch die Ableitungen
[mm] f'(x)=\bruch{1*(1+x)-1*x}{(1+x)^{2}}=\bruch{1}{(1+x)^{2}}
[/mm]
(mit  Quotientenregel)
[mm] g'(x)=\bruch{1}{x+1}*1=\bruch{1}{x+1} [/mm]
(mit Kettenregel)
Dann zeige, dass f(0)=g(0) und f'(0)=g'(0)
und dann zeige, dass für -1<x<0 gilt: f'(x)<g'(x) und für x>0 f'(x)>g'(x)
Ich weiss, dass das relativ viel Rechnerei ist, aber man umgeht so komplett den Logarithmus.
Hier noch ein Bild dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Rot: [mm] f(x)=\bruch{1}{x+1} [/mm] Blau [mm] g(x)=\ln(x+1) [/mm] (etwas blasser die Ableitungen)
Ich hoffe, das hilft erstmal weiter.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Mo 30.11.2009 | | Autor: | karlhungus |
hallo,
ok, ich werd das so machen, finde es sehr einleuchtend. eigentlich haben wir zwar noch keine ableitungen eingeführt, aber... die zeitnot zwingt mich zu handeln (muss das gleich abgeben).
vielen dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo karlhungus!
Formen wir mal zunächst um wie folgt:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}n*\left(\wurzel[n]{a} - 1\right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a^{\bruch{1}{n}} - 1}{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{\red{x\rightarrow 0}}\bruch{a^{\red{x}} - 1}{\red{x}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{a^{x} - a^0}{x-0}$$
[/mm]
Und das entspricht doch exakt dem Differentialquotienten für $f(x) \ = \ [mm] a^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(a)}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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