log und e < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Lilium |
Hallo,
ich mache momentan ein paar Aufgaben und bin mir teilweise nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe. Es sind leider auch nur "versuche", denn so gar nichts möchte ich euch auch nicht liefern, ich hoffe, dass das nicht schlimm ist.
Sei x>1: zu beweisen ist
a)
[mm] \limes_{x\rightarrow +\infty}\bruch{log(logx))}{log x}=0
[/mm]
Hierzu dachte ich mir, dass ich das vielleicht auseinanderziehen könnte:
[mm] \limes_{x\rightarrow +\infty}log(logx)*\bruch{1}{log x}=0
[/mm]
und [mm] \bruch{1}{log x} [/mm] geht ja für x--> [mm] \infty [/mm] gegen 0 und da es ein faktor ist, dachte ich dass auch das gesamte dann gegen 0 geht. Aber andererseits, wenn ich das mit [mm] \limes_{x\rightarrow +\infty}\bruch{x^2}{x} [/mm] machen würde, dann geht das ja auch nicht obwohl 1/x gegen 0 geht... ich bin einfach ratlos, was ich mit log(logx) machen soll, das hatten wir leider noch gar nicht in der vorlesung...
b)
[mm] \limes_{x\rightarrow +\infty}\bruch{e^x}{e^(e^x)}=0
[/mm]
hierbei wollte ich die exponenten vergleichen, also x und [mm] e^x. [/mm] denn wenn [mm] e^x>x [/mm] und vor allem schneller größer wird als x, dann konvergiert der bruch ja gegen null.. so rein zeichnerisch, finde ich das richtig, aber formal ....
Oder so??
[mm] \limes_{x\rightarrow +\infty}\bruch{e^x}{e^(e^x)}=\limes_{x\rightarrow +\infty}e^{x-(e^x)}=...=0
[/mm]
und dabei hapert es aber bei den "..."
Kann mir vielleicht jemand helfen? Ich würde mich sehr über einen Tipp oder so freuen.
Liebe Grüße und vielen Dank
Lilium
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Mo 27.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
kennst Du die Regeln von l'Hospital, damit wird es wohl am schnellsten gehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Lilium |
Hallo,
danke erstmal für die schnelle Antwort.
ich habe mir das mal bei wiki angeschau, scheint einfach zu sein, allerdings ist es im buch erst auf seite 174 und wir sind bei 90... gibt es vielleicht noch eine andere möglichkeit diese aufgabe zu lösen?
Liebe Grüße
Lilium
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mo 27.12.2010 | | Autor: | MorgiJL |
Hey!
ist das bei der b.) im Nenner "e hoch e hoch x"? ;)...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Lilium |
Hey,
>
> ist das bei der b.) im Nenner "e hoch e hoch x"? ;)...
ja... hast du eine idee, wie ich diese aufgabe lösen kann??
LG
lilium
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Hallo Lilium,
> Hallo,
> ich mache momentan ein paar Aufgaben und bin mir teilweise
> nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe. Es sind
> leider auch nur "versuche", denn so gar nichts möchte ich
> euch auch nicht liefern, ich hoffe, dass das nicht schlimm
> ist.
>
> Sei x>1: zu beweisen ist
> a)
> [mm]\limes_{x\rightarrow +\infty}\bruch{log(logx))}{log x}=0[/mm]
>
> Hierzu dachte ich mir, dass ich das vielleicht
> auseinanderziehen könnte:
> [mm]\limes_{x\rightarrow +\infty}log(logx)*\bruch{1}{log x}=0[/mm]
>
> und [mm]\bruch{1}{log x}[/mm] geht ja für x--> [mm]\infty[/mm] gegen 0 und
> da es ein faktor ist, dachte ich dass auch das gesamte dann
> gegen 0 geht. Aber andererseits, wenn ich das mit
> [mm]\limes_{x\rightarrow +\infty}\bruch{x^2}{x}[/mm] machen würde,
> dann geht das ja auch nicht obwohl 1/x gegen 0 geht...
Richtig. Das liegt allerdings daran, dass $ [mm] x^2 [/mm] $ schneller läuft als $ x $.
Ich weiß nicht, warum der Vergleich mit $ [mm] x^2/x$ [/mm] aber ich vermute, dass du $ [mm] \log(x) [/mm] $ mit $ x $ subsituiert hast?
Wenn, dann ist nur eine Substitution der Form $ [mm] \log(x) [/mm] =: u(x) $ zulässig.
Ich würde versuchen zu zeigen, dass $ [mm] \log(\log(x))$ [/mm] deutlich langsamer divergiert (ins unendliche läuft) als $ [mm] \log(x) [/mm] $. Was tatsächlich der Fall ist.
Zeige, dass für alle $ x [mm] \in \IR^+ [/mm] $ gilt, dass $ [mm] \log(\log(x)) \le \log(x) [/mm] $:
Beweis
$ [mm] \log(\log(x)) \le \log(x) \gdw e^{\log(\log(x))} \le e^{\log(x)} \gdw \log(x) \le [/mm] x $ für alle $ x [mm] \in \IR^+ [/mm] $
$ [mm] \Box [/mm] $
Jetzt kannst du den Grenzwert darauf anwenden. Wegen obiger Äquivalenz gilt also
$ [mm] \lim_{x \to \infty} \dfrac{\log(\log(x))}{\log(x)} [/mm] = 0 $
> ich
> bin einfach ratlos, was ich mit log(logx) machen soll, das
> hatten wir leider noch gar nicht in der vorlesung...
Probiere mal b) mit ähnlichen Überlegungen.
>
> Liebe Grüße und vielen Dank
> Lilium
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Lilium |
Hallo Chop Suey,
ich daaaanke dir sehr, ich mache auch gleich b, aber noch kurz eine frage zu a.. wenn du jetzt
log (x) < x hast, ist das anschaulich (für mich) klar (wenn ich halt die beiden funktionen zeichne... abwer ist das denn "bewiesen"??
LG
lilium
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Hi Lilium,
das ist als Beweis mMn auf jeden Fall ausreichend.
Bist du wegen $ [mm] \log(x) \le [/mm] x $ skeptisch?
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Lilium |
Hey,
>
> das ist als Beweis mMn auf jeden Fall ausreichend.
>
> Bist du wegen [mm]\log(x) \le x[/mm] skeptisch?
ja, denn wenn ich das wieder also quotient schreibe:
[mm] \bruch{\log(x)}{x} [/mm] ist da für x--> [mm] \infty [/mm] das gleich 0... aber irgendwie ... naja, ich stelle mir das halt immer durch die funktionsgraphen vor...
hast du da noch ne idee, damit ich nicht mehr so skeptisch bin???
LG
lilium
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Hi,
$ [mm] \log(x) \le [/mm] x $ sagt doch nichts anderes aus, als dass die Bilder immer kleiner gleich (tatsächlich sogar echt kleiner) als die Urbilder sind.
Überleg' dir alternativ folgendes:
Für alle $ x [mm] \in \IR [/mm] $ gilt in jedem Fall, dass $ x < [mm] e^x [/mm] $. Da sind wir uns hoffentlich einig.
Dann gilt aber $ x < [mm] e^x \Rightarrow \log(x) [/mm] < [mm] \log e^x [/mm] $
Wegen $ [mm] \log e^x [/mm] = x $ (Logarithmusregeln) gilt dann aber insbesondere
$ [mm] \log(x) [/mm] < x $ für alle $ x [mm] \in \IR^+ [/mm] $
Jetzt weniger skeptisch? 
Meld dich, falls noch was unklar ist.
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Lilium |
Hey,
> [mm]\log(x) \le x[/mm] sagt doch nichts anderes aus, als dass die
> Bilder immer kleiner gleich (tatsächlich sogar echt
> kleiner) als die Urbilder sind.
>
> Überleg' dir alternativ folgendes:
>
> Für alle [mm]x \in \IR[/mm] gilt in jedem Fall, dass [mm]x < e^x [/mm]. Da
> sind wir uns hoffentlich einig.
joa, vom geistigen bild her schon^^
> Dann gilt aber [mm]x < e^x \Rightarrow \log(x) < \log e^x[/mm]
warum ist das nicht äquivalent??
> Wegen [mm]\log e^x = x[/mm] (Logarithmusregeln) gilt dann aber
> insbesondere
>
> [mm]\log(x) < x[/mm] für alle [mm]x \in \IR^+[/mm]
ps. habe b hinbekommen..
LG
lilium
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Hallo Lilium,
> Hey,
> > [mm]\log(x) \le x[/mm] sagt doch nichts anderes aus, als dass die
> > Bilder immer kleiner gleich (tatsächlich sogar echt
> > kleiner) als die Urbilder sind.
> >
> > Überleg' dir alternativ folgendes:
> >
> > Für alle [mm]x \in \IR[/mm] gilt in jedem Fall, dass [mm]x < e^x [/mm]. Da
> > sind wir uns hoffentlich einig.
> joa, vom geistigen bild her schon^^
> > Dann gilt aber [mm]x < e^x \Rightarrow \log(x) < \log e^x[/mm]
>
> warum ist das nicht äquivalent??
Ist es. Dort ist auch ein Äquivalenzpfeil zulässig. Ich wollte dir aber nur zeigen, wie man zu $ [mm] \log(x) [/mm] < x $ kommt.
> > Wegen [mm]\log e^x = x[/mm] (Logarithmusregeln) gilt dann aber
> > insbesondere
> >
> > [mm]\log(x) < x[/mm] für alle [mm]x \in \IR^+[/mm]
>
> ps. habe b hinbekommen..
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> LG
> lilium
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Lilium |
Ich daaaanke dir^^
Dann kann ich einfach schreiben, dass log x < x und das war's dann, oder??
LG
lilium
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Mo 27.12.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hi,
nichts zu danken.
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> Dann kann ich einfach schreiben, dass log x < x und das
> war's dann, oder??
Ein bisschen mehr darfs schon sein. Schreib's in etwa so auf wie in meiner ersten Antwort. Jedenfalls folgt aus der obigen Ungleichung, dass der Nenner schneller wächst als der Zähler.
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> LG
> lilium
Grüße
ChopSuey
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