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| Aufgabe | Wir betrachten die sogenannte logarithmische Spirale [mm] w:[1,\infty]\to\IR^2, w(t)=e^{-t} \pmat{ cos t \\ sin t }
[/mm]
a) Berechnen Sie die Länge L(w) der logarithmischen Spirale.
Betrachten Sie dazu w auf dem Integral (1,c) und lassen dann c [mm] \to\infty
[/mm]
b) Berechnen Sie die Koordinaten des geometrischen Schwerpunktes der logarithmischen Spirale |
zu a) habe ich folgendes gemacht:
x(t) = [mm] e^{-t} [/mm] cos t
y(t) = [mm] e^{-t} [/mm] sin t
x'(t) = [mm] -e^{-t} [/mm] (cos t + sin t)
y'(t) = [mm] e^{-t} [/mm] (cos t - sin t)
[mm] L(w)=\integral_{1}^{c}{|w'(t)| dt}=\integral_{1}^{c}{\wurzel{x'(t)^2+y'(t)^2} dt}
[/mm]
[mm] L(w)=\integral_{1}^{c}{e^{-t}\wurzel{2} dt}
[/mm]
[mm] L(w)=\wurzel{2}(-e^{-c}+e^{-1})
[/mm]
für [mm] c\to \infty [/mm] folgt: [mm] L(w)=\wurzel{2}/e
[/mm]
Ist das richtig?
Leider habe ich keine Ahnung, wie der Aufgabenteil b) zu lösen ist.
Kann mir jemand helfen?
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Was ein Zufall, dass dies gerade die aktuelle Übung unseres Mathe II Kurses ist ;)
> Wir betrachten die sogenannte logarithmische Spirale
> [mm]w:[1,\infty]\to\IR^2, w(t)=e^{-t} \pmat{ cos t \\ sin t }[/mm]
>
> a) Berechnen Sie die Länge L(w) der logarithmischen
> Spirale.
> Betrachten Sie dazu w auf dem Integral (1,c) und
> lassen dann c [mm]\to\infty[/mm]
>
> b) Berechnen Sie die Koordinaten des geometrischen
> Schwerpunktes der logarithmischen Spirale
> zu a) habe ich folgendes gemacht:
> x(t) = [mm]e^{-t}[/mm] cos t
> y(t) = [mm]e^{-t}[/mm] sin t
>
> x'(t) = [mm]-e^{-t}[/mm] (cos t + sin t)
> y'(t) = [mm]e^{-t}[/mm] (cos t - sin t)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]L(w)=\integral_{1}^{c}{|w'(t)| dt}=\integral_{1}^{c}{\wurzel{x'(t)^2+y'(t)^2} dt}[/mm]
>
> [mm]L(w)=\integral_{1}^{c}{e^{-t}\wurzel{2} dt}[/mm]
>
> [mm]L(w)=\wurzel{2}(-e^{-c}+e^{-1})[/mm]
Hier ist ein Fehler in der Musterlösung bei mir...man hat mit der untere nGrenze 0 gerechnet, aber du hast korrekt gerechnet, sollte stimmen.
>
> für [mm]c\to \infty[/mm] folgt: [mm]L(w)=\wurzel{2}/e[/mm]
>
> Ist das richtig?
, sieht alles korrekt aus.
>
> Leider habe ich keine Ahnung, wie der Aufgabenteil b) zu
> lösen ist.
Der geometrische Schwertpunkt ist in diesem Falle, da der Körper eindimensional ist (Linie!):
[mm] $x_s=\bruch{1}{L}\int_{\omega}xds$ [/mm] und entsprechend für y. Da du L bereits berechnet hast, brauchst du nur noch das Kurvenintegral zu lösen. Dazu setzt du wieder $x(t)$ und rechnest mit einem Parameter c für die obere Grenze.
>
> Kann mir jemand helfen?
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Danke für deine Antwort.
Das heißt [mm] x_{s}=e/\wurzel{2}\integral_{1}^{c}{e^{-t}cost ds} [/mm] und [mm] y_{s}=e/\wurzel{2}\integral_{1}^{c}{e^{-t}sint ds}?
[/mm]
[mm] x_{s}=e/\wurzel{2}[1/2 e^{-t}(sint+cost] [/mm] und
[mm] y_{s}=e/\wurzel{2}[1/2 e^{-t}(sint-cost] [/mm] jeweils in den Grenzen 1 und c?
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> Danke für deine Antwort.
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> Das heißt [mm]x_{s}=e/\wurzel{2}\integral_{1}^{c}{e^{-t}cost ds}[/mm]
> und [mm]y_{s}=e/\wurzel{2}\integral_{1}^{c}{e^{-t}sint ds}?[/mm]
nur statt ds bitte dt, sonst geht da gar nix ;) Du hast ja ds durch Substitution von x(t) druchgeführt (aber wahrscheinlich eh nur ein Schreibfehler von dir)
Außerdem fehlt der Betrag der Ableitung der Parametrisierung! Die Transformationsformel ist ja
[mm] $int_{\omega}f ds=\int_a^b f(w(t))|\dot{w(t)}|dt$
[/mm]
Hast du ja auch davor gemacht. Den Betrag hattest du bereits mit [mm] $e^{-t}\sqrt{2}$ [/mm] bestimmt ,das muss also auch noch ins Integral. Danach integrieren von 1 bis c, lim von c gegen [mm] $\infty$ [/mm] betrachten und anschließend am Ende durch L teilen ;)
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> [mm]x_{s}=e/\wurzel{2}[1/2 e^{-t}(sint+cost][/mm] und
> [mm]y_{s}=e/\wurzel{2}[1/2 e^{-t}(sint-cost][/mm] jeweils in den
> Grenzen 1 und c?
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