logistisches Wachstum < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Di 12.09.2006 | | Autor: | Elch |
| Aufgabe | Eine hefekultur zeigt das unten protokollierte Wachstumsverhalten. Wie lautet die logistische Wachstumsfunktion??? Wie hoch ist der grenzbestand??
t in h / N in mg
0 50
5 136
10 367
15 985
20 2591
25 6467
30 14383 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich habe diese frage allerdings bereits schon einmal in dieses Forum gestellt und jemand hat bereits darauf geantwortet. doch die Antwort brachte mir nichts und da meine Frage als beantwortet galt konnte ich darauf leider nicht mehr reagieren. deswegen der erneute Versuch.
Ich weiß also bereits wie die allgemeine Formel einer logistischen Wachstumsfunktion aussieht. Kann ich anhand der Werte in der Tabelle nun auf den Grenzbestand schließen??? Der letzte Antworter sagte mir, ich soll ihn aus der tabelle entnehmen, aber wo soll er dort stehen??? Zum Zeitpunkt 30 hört das Wachstum ja nicht auf, bis dorthin is das Anwachsen ja exponential. Wie ermittel ich nun also den Grenzbestand??? Wie ich auf die anderen Werte der allgemeinen Wachstunsgleichung komme ist mir bewusst, aber ich weiß nicht wie ich den grenzbestand ermitteln kann. Für schnelle Hilfe wäre ich echt Dankbar...
Mfg,
Elch...
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Hi, Elch,
bitte nicht doppelt posten!
Wenn Du eine Antwort nicht verstanden hast, dann stelle neue Deine Frage IM SELBEN STRANG!
> Ich habe diese frage allerdings
> bereits schon einmal in dieses Forum gestellt und jemand
> hat bereits darauf geantwortet. doch die Antwort brachte
> mir nichts und da meine Frage als beantwortet galt konnte
> ich darauf leider nicht mehr reagieren. deswegen der
> erneute Versuch.
Nein! Du kannst weiterfragen IM SELBEN STRANG!
> Ich weiß also bereits wie die allgemeine Formel einer
> logistischen Wachstumsfunktion aussieht. Kann ich anhand
> der Werte in der Tabelle nun auf den Grenzbestand
> schließen??? Der letzte Antworter sagte mir, ich soll ihn
> aus der tabelle entnehmen, aber wo soll er dort stehen???
Das ist nirgends so gesagt! Du sollst nichts "ablesen" !!!!!!!!
Du sollst was "ermitteln" = "ausrechnen" !!!!!
Einsetzen von Werten für t und f(t)!!!
Also: Ich nehm' mal "meine" Formel: f(t) = [mm] \bruch{G}{1+b*e^{-a*t}} [/mm]
Laut Deiner Tabelle ist z.B.
f(0) = 50, daher: [mm] \bruch{G}{1+b} [/mm] = 50
f(10) = 367, daher: [mm] \bruch{G}{1+b*e^{-10a}} [/mm] = 367
f(20) = 2591, daher: [mm] \bruch{G}{1+b*e^{-20a}} [/mm] = 2591
3 Gleichungen, 3 Unbekannte! Ausrechnen von G, b und a.
Idee: Wahrscheinlich vereinfacht sich die Rechnung, wenn Du anfangs [mm] e^{-10a} [/mm] = z substituierst.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Di 12.09.2006 | | Autor: | ollux |
Könntest du, oder jemand anders, noch bitte dieses Gleichungssystem lösen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Di 12.09.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, ollux,
> Könntest du, oder jemand anders, noch bitte dieses
> Gleichungssystem lösen?
Klaro!
Ich krieg' raus (wobei natürlich wegen der blöden Zahlen Rundungs"fehler" auftreten können):
f(t) = [mm] \bruch{50316}{1 + 1005,32*e^{-0,2*t}}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 13.09.2006 | | Autor: | Elch |
Vielen Vielen Dank für die schnelle und kompetente Antwort. Hat mir schon sehr weitergeholfen. Außerdem noch eine Entschuldigung, dass ich nicht gleich gesehen habe, dass man auf Antworten auch nochmals reagieren kann und Fragen stellen kann. Wird nicht wieder vorkommen.
Leider habe ich allerdings immer noch ein Problem. ich habe mir jetzt eine noch vereinfachtere Variante ausgesucht. Dabei ist f(0) = 2300 , f(2) = 4600 und f(4) = 9200. Daraus folgt also dieses Gleichungssystem, wobei ich z= [mm] e^{-2a} [/mm] substituiere
I : 0 = 2300 + 2300b - G
II : 0 = 4600 + 4600bz - G
III: 0 = 9200 + [mm] 9200bz^{2} [/mm] - G
Und ich komme einfach nicht auf irgendwelche vernünftigen Lösungen. Kann mir bitte nochmals jemand weiterhelfen dieses Gleichungssystem aufzulösen??? Ich glaube ich habe irgendein brett vor dem Kopf - es tut mir leid...
MfG , Elch
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Hi, Elch,
> Leider habe ich allerdings immer noch ein Problem. ich
> habe mir jetzt eine noch vereinfachtere Variante
> ausgesucht. Dabei ist f(0) = 2300 , f(2) = 4600 und f(4) =
> 9200. Daraus folgt also dieses Gleichungssystem, wobei ich
> z= [mm]e^{-2a}[/mm] substituiere
>
> I : 0 = 2300 + 2300b - G
> II : 0 = 4600 + 4600bz - G
> III: 0 = 9200 + [mm]9200bz^{2}[/mm] - G
Mal probieren!
Aus I folgt: b = [mm] \bruch{G-2300}{2300}
[/mm]
Aus II folgt bz = [mm] \bruch{G-4600}{4600}
[/mm]
Aus III folgt: [mm] bz^{2} [/mm] = [mm] \bruch{G-9200}{9200}
[/mm]
Nun setze ich zunächst I in II bzw. III ein und löse nach z bzw. [mm] z^{2} [/mm] auf:
II: z = [mm] \bruch{(G-4600)*2300}{4600*(G-2300)}
[/mm]
z = [mm] \bruch{(G-4600)}{2*(G-2300)}
[/mm]
III. [mm] z^{2} [/mm] = [mm] \bruch{(G-9200)*2300}{9200*(G-2300)}
[/mm]
[mm] z^{2} [/mm] = [mm] \bruch{(G-9200)}{4*(G-2300)}
[/mm]
Jetzt quadriere ich in II:
[mm] z^{2} [/mm] = [mm] \bruch{(G-4600)^{2}}{4*(G-2300)^{2}}
[/mm]
und setzte II und III gleich:
[mm] \bruch{(G-4600)^{2}}{4*(G-2300)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{(G-9200)}{4*(G-2300)}
[/mm]
Nun multipliziere ich erst mal mit 4*(G-2300) und vereinfache ein wenig:
[mm] \bruch{(G-4600)^{2}}{(G-2300)} [/mm] = (G-9200)
Daraus folgt natürlich: [mm] (G-4600)^{2} [/mm] = (G-2300)(G-9200)
Und wenn ich mich bisher nicht verrechnet habe, müsste man daraus nun G berechnen können.
(Was mich an diesem Beispiel wundert, ist, dass am Ende das [mm] G^{2} [/mm] rausfällt und wohl G=0 rauskommen wird!
Wo hast Du denn Deine Anfangswerte her? Bist Du ganz sicher, dass da eine logistische Wachstumsfunktion rauskommt? Ich vermute, dass nicht!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mi 13.09.2006 | | Autor: | Elch |
Die Aufgabe ist mehr oder weniger selbst kreirt. Ich soll eine Anwendungsmappe zum Thema Exponentialfunktionen machen. dabei habe ich mir eine theorie heraugesucht "Moore'sches gesetz) die besagt, dass sich die Anzahl von transistoren auf einem Chip alle zwei jahre verdoppelt, woraus eine leitungssteigerung folgt. Die funktion sihet ja dann ganz einfach aus f(x) = 2300* [mm] 2^{x} [/mm] . 2300 ist eben der erste richtig messbare startpunkt dieser sache. ich dachte, dass zu jeder exponentialfunktion ein logistisches wachstum berechnbar sein müsste. Liege ich mit der annahme also falsch??? muss ja wohl wenn es nicht aufgeht. hab in deine rechnung auch keinen fehler oder so gefunden. Jedenfalls ist 2300 eben die erste Anzahöl von transistoren, daher 2300 als Starwert. Schlussendlich also doch nochmal die Frage gibt es zu dieser Formel kein logistisches Wachstum??? (die Formulierung ist doof ich weiß) ...
MfG ..
Elch...
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Hi, Elch,
> Die Aufgabe ist mehr oder weniger selbst kreiert. Ich soll
> eine Anwendungsmappe zum Thema Exponentialfunktionen
> machen. dabei habe ich mir eine theorie heraugesucht
> "Moore'sches gesetz) die besagt, dass sich die Anzahl von
> transistoren auf einem Chip alle zwei jahre verdoppelt,
> woraus eine leitungssteigerung folgt. Die funktion sihet ja
> dann ganz einfach aus f(x) = 2300* [mm]2^{x}[/mm] . 2300 ist eben
> der erste richtig messbare startpunkt dieser sache. ich
> dachte, dass zu jeder exponentialfunktion ein logistisches
> wachstum berechnbar sein müsste. Liege ich mit der annahme
> also falsch??? muss ja wohl wenn es nicht aufgeht. hab in
> deine rechnung auch keinen fehler oder so gefunden.
> Jedenfalls ist 2300 eben die erste Anzahl von
> transistoren, daher 2300 als Starwert. Schlussendlich also
> doch nochmal die Frage gibt es zu dieser Formel kein
> logistisches Wachstum??? (die Formulierung ist doof ich
> weiß) ...
Zu diesen Werten gibt es keine Lösung in Bezug auf ein logistisches Wachstum! Man kann nirgendwo erkennen, dass die Steigung auch mal wieder abnimmt. Hier passen die Zahlen praktisch nur zu einem exponentiellen Wachstum.
Wenn Du selbst Dir Beispiele ausdenken sollst, dann gehe lieber vom Graphen einer solchen Funktion aus und ermittle aus der Zeichnung Werte, die "einigermaßen passen"! Exakt kriegt man sowas eh' selten hin!
Die Berechnung der Funktionsgleichung erfolgt dann jedenfalls nach dem "Muster", das ich Dir gezeigt habe. Für G sollte jedenfalls eine quadratische Gleichung resultieren, wobei normalerweise der kleinere Wert in der Lösungsformel unbrauchbar ist.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Mi 13.09.2006 | | Autor: | Elch |
Sehr sehr schade eigentlich , aber trotzdem nochmal vielen Dank für all die Hilfe und Zeit. Dann werde ich die Berchnung dazu wohl einfach weglassen müssen und werde von einem stetigen, exponentillem Wachstum ausgehen.
Mfg, Elch
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