lokal und global invertierbar < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion f : [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] sei gegeben durch
f(x,y) := [mm] \pmat{ exp (x) & cos (y) \\ exp (x) & sin (y)} [/mm] (x,y) [mm] \in \IR^{2}
[/mm]
Bestimmen Sie alle Punkte im [mm] \IR^{2}, [/mm] für die die Funktion lokal invertierbar ist. Ist die Funktion uch global invertierbar, d.h. auf dem ganzen [mm] \IR^{2} [/mm] ? Begründen Sie ihre Antwort.
Bestimmen Sie alle Punkte im |
Mein Anfang : A= [mm] \pmat{ cos (y) * e^{x} & -e^{x} sin (y) \\ sin (y) e^{x} & e^{x} *cos (y)}
[/mm]
det A = cos (y)* [mm] e^{x}*e^{x}*cos [/mm] (y) + [mm] e^{x}* [/mm] sin (y)* sin (y) * [mm] e^{x}
[/mm]
[mm] e^{x}^{2}* cos^{2} [/mm] (y) + [mm] e^{x}^{2} [/mm] * [mm] sin^{2} [/mm] (y)
[mm] e^{x}^{2} [/mm] * [mm] (cos^{2} [/mm] (y) + [mm] sin^{2} [/mm] (y)
[mm] e^{x}^{2} [/mm] * 1= [mm] e^{x}^{2}\not= [/mm] 0 [mm] e^{x} [/mm] nie null
= [mm] e^{2x}
[/mm]
da det A [mm] \not= [/mm] 0 invertierbar (lokal)
Funktion ist für alle x und y lokal invertierbar.
So jetzt muss ich doch noch zeigen, dass es global invertierbar ist. Also ich weiss das es global invertierbar wenn die umkehr Fkt exist. und diese exist. ja da die Fkt lokal invertierbar ist.
Oder wie muss ich das beweisen.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Di 21.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion f : [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm] sei gegeben durch
>
> f(x,y) := [mm]\pmat{ exp (x) & cos (y) \\ exp (x) & sin (y)}[/mm]
> (x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm]
>
> Bestimmen Sie alle Punkte im [mm]\IR^{2},[/mm] für die die Funktion
> lokal invertierbar ist. Ist die Funktion uch global
> invertierbar, d.h. auf dem ganzen [mm]\IR^{2}[/mm] ? Begründen Sie
> ihre Antwort.
>
> Bestimmen Sie alle Punkte im
> Mein Anfang : A= [mm]\pmat{ cos (y) * e^{x} & -e^{x} sin (y) \\ sin (y) e^{x} & e^{x} *cos (y)}[/mm]
>
>
> det A = cos (y)* [mm]e^{x}*e^{x}*cos[/mm] (y) + [mm]e^{x}*[/mm] sin (y)* sin
> (y) * [mm]e^{x}[/mm]
> [mm]e^{x}^{2}* cos^{2}[/mm] (y) + [mm]e^{x}^{2}[/mm] * [mm]sin^{2}[/mm]
> (y)
> [mm]e^{x}^{2}[/mm] * [mm](cos^{2}[/mm] (y) + [mm]sin^{2}[/mm] (y)
> [mm]e^{x}^{2}[/mm] * 1= [mm]e^{x}^{2}\not=[/mm] 0
> [mm]e^{x}[/mm] nie null
> = [mm]e^{2x}[/mm]
>
> da det A [mm]\not=[/mm] 0 invertierbar (lokal)
>
> Funktion ist für alle x und y lokal invertierbar.
> So jetzt muss ich doch noch zeigen, dass es global
> invertierbar ist.
Nein, das mußt Du nicht. Es wird Dir auch nicht gelingen, denn die Funktion ist nicht global invertierbar !!
Es ist
$f(x,y)=f(x, y+2k [mm] \pi)$ [/mm] für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] und alle $k [mm] \in \IZ$
[/mm]
FRED
> Also ich weiss das es global invertierbar
> wenn die umkehr Fkt exist. und diese exist. ja da die Fkt
> lokal invertierbar ist.
> Oder wie muss ich das beweisen.
>
> Danke
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$f(x,y)=f(x, y+2k [mm] \pi)$ [/mm] für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] und alle $k [mm] \in \IZ$
[/mm]
Würde das als begründung reichen???
Und ähm ist mein Anfang denn jetzt richtig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Di 21.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x,y)=f(x, y+2k \pi)[/mm] für alle [mm](x,y) \in \IR^2[/mm] und alle [mm]k \in \IZ[/mm]
>
> Würde das als begründung reichen???
Wenn Du noch spendierst: " .... daher ist f auf [mm] \IR^2 [/mm] nicht injektiv" reicht es.
> Und ähm ist mein Anfang denn jetzt richtig.
Ja der Anfang war O.K.
FRED
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Meinst du das gilt [mm]f(x,y)=f(x, y+2k \pi)[/mm] für alle [mm](x,y) \in \IR^2[/mm] und alle [mm]k \in \IZ[/mm] damit nich umkehrbarund daraus folgt nicht global invertierbar???
Wie kommt denn da drauf [mm]f(x,y)=f(x, y+2k \pi)[/mm] für alle [mm](x,y) \in \IR^2[/mm] und alle [mm]k \in \IZ[/mm] ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Di 21.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Meinst du das gilt [mm]f(x,y)=f(x, y+2k \pi)[/mm] für alle [mm](x,y) \in \IR^2[/mm]
> und alle [mm]k \in \IZ[/mm] damit nich umkehrbarund daraus folgt
> nicht global invertierbar???
Das ist vielleicht mühsam ....
Sind wir uns einig, dass gilt:
[mm]f(x,y)=f(x, y+2k \pi)[/mm] für alle [mm](x,y) \in \IR^2[/mm] und alle [mm]k \in \IZ[/mm]
?
Wenn ja, so folgt doch dass f nicht injektiv ist. Ist das klar ?
Fazit : f ist nicht umkehrbar, f ist nicht invertierbar, es ist nix mit Umkehrfunktion
> Wie kommt denn da drauf [mm]f(x,y)=f(x, y+2k \pi)[/mm] für alle
> [mm](x,y) \in \IR^2[/mm] und alle [mm]k \in \IZ[/mm] ???
Schule: Sinus und Kosinus sind $2 [mm] \pi$ [/mm] - periodisch
FRED
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