lokale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi zusammen,
ich habe eine Frage zur Bestimmung von lokalen Extrema.
Hier erstmal meine Vorgehensweise:
1) Ich berechne den Gradient und setze diesen gleich 0
2) Dann bestimmen ich die entsprechenden x Werte
3) Dann bilde ich die zweiten partiellen Ableitungen und die von [mm] x_1 [/mm] zu [mm] x_2 [/mm] (weiß nicht wie das besser ausdrücken sollte)
4) Ich bilde die Hesse Martix mit den Werten
Jetzt meine Frage:
Muss den Eigenwert also die Determinaten berechnen und zweiten partiellen Ableitungen beachten ?
Also bei [mm] \begin{pmatrix}
6 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix} [/mm] berechne ich die Determinante und [mm] D_{11} [/mm] & [mm] D_{22}
[/mm]
Also det = 12 > 0
[mm] D_{11} [/mm] = 6 > 0
[mm] D_{22} [/mm] = 2 > 0
Oder reichen hier die beiden partiellen Ableitungen ?
Bei [mm] \begin{pmatrix}
0 & -3 \\
-3 & 2
\end{pmatrix} [/mm] würde das ja dann nicht reichen das ich einfach sage das [mm] D_{11} [/mm] = 0 ist und [mm] D_{22} [/mm] > 0 ist und das ganze damit indefinit ist und kein lokales Extremum ist, oder?
Danke für die Hilfe im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mo 10.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi zusammen,
>
> ich habe eine Frage zur Bestimmung von lokalen Extrema.
>
> Hier erstmal meine Vorgehensweise:
> 1) Ich berechne den Gradient und setze diesen gleich 0
> 2) Dann bestimmen ich die entsprechenden x Werte
> 3) Dann bilde ich die zweiten partiellen Ableitungen und
> die von [mm]x_1[/mm] zu [mm]x_2[/mm] (weiß nicht wie das besser ausdrücken
> sollte)
Du berechnest alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung.
> 4) Ich bilde die Hesse Martix mit den Werten
>
> Jetzt meine Frage:
> Muss den Eigenwert also die Determinaten berechnen und
> zweiten partiellen Ableitungen beachten ?
>
> Also bei [mm]\begin{pmatrix}
6 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}[/mm] berechne ich die
> Determinante und [mm]D_{11}[/mm] & [mm]D_{22}[/mm]
> Also det = 12 > 0
> [mm]D_{11}[/mm] = 6 > 0
> [mm]D_{22}[/mm] = 2 > 0
> Oder reichen hier die beiden partiellen Ableitungen ?
>
>
> Bei [mm]\begin{pmatrix}
0 & -3 \\
-3 & 2
\end{pmatrix}[/mm] würde das ja dann nicht
> reichen das ich einfach sage das [mm]D_{11}[/mm] = 0 ist und [mm]D_{22}[/mm]
> > 0 ist und das ganze damit indefinit ist und kein lokales
> Extremum ist, oder?
Regeln:
1. Sei [mm] A=\pmat{ a & b \\ b & c }
[/mm]
A ist positiv definit [mm] \gdw [/mm] a>0 und detA>0
A ist negativ definit [mm] \gdw [/mm] a<0 und detA>0
A ist indefinit [mm] \gdw [/mm] detA<0.
2.
Sei f eine 2 mal stetig differenzierbare Funktion aif einer offenen Menge D und [mm] x_0 \in [/mm] D. Weitewr sei [mm] gradf(x_0)=0.
[/mm]
Ist [mm] H_f(x_0) [/mm] die Hesse-Matrix von f in [mm] x_0, [/mm] so gilt:
ist [mm] H_f(x_0) [/mm] positiv definit, so hat f in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Minimum,
ist [mm] H_f(x_0) [/mm] negativ definit, so hat f in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Maximum,
ist [mm] H_f(x_0) [/mm] indefinit, so hat f in [mm] x_0 [/mm] ein kein lokales Extremum.
FRED
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> Danke für die Hilfe im voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
> Regeln:
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> 1. Sei [mm]A=\pmat{ a & b \\ b & c }[/mm]
>
> A ist positiv definit [mm]\gdw[/mm] a>0 und detA>0
>
> A ist negativ definit [mm]\gdw[/mm] a<0 und detA>0
>
> A ist indefinit [mm]\gdw[/mm] detA<0.
Also liegt bei a oder c gleich 0 nie ein lokales Extremum vor, da ja dann die Determinate immer < 0 ist, oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Mo 10.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> > Regeln:
> >
> > 1. Sei [mm]A=\pmat{ a & b \\ b & c }[/mm]
> >
> > A ist positiv definit [mm]\gdw[/mm] a>0 und detA>0
> >
> > A ist negativ definit [mm]\gdw[/mm] a<0 und detA>0
> >
> > A ist indefinit [mm]\gdw[/mm] detA<0.
>
> Also liegt bei a oder c gleich 0 nie ein lokales Extremum
> vor, da ja dann die Determinate immer < 0 ist, oder ?
Du musst aufpassen mit solchen Aussagen und vor Allem präziser
formulieren. So wie es dort steht stimmt es nicht. Gegenbeispiel:
[mm] A=\pmat{ a & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \det(A)=0\not [/mm] <0$.
Vergiss also die Stelle $c:=A(2,2)$. Interessant ist die Stelle
$a:=A(1,1)$, denn $A$ ist eine symmetrische Matrix und deshalb
interessieren wir uns für die führenden Hauptminoren
[mm] \det(A_1)=a [/mm] und [mm] \det(A_2)=(a*0)-(b*b)=-b^2
[/mm]
und somit insbesondere für $b:=A(1,2)=A(2,1)$.
Gruß
DieAcht
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