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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Achtzig |
| Aufgabe | f(x,y):= [mm] (y^2-1)*sin(x)
[/mm]
lokale Extrema berechnen |
hallo!
also weiß nicht wie ich mir das mit derive ausrechnen lassen kann.
aber kann das sein: (pi/2 + 2k*pi , 0) und (3pi/2 + 2k*pi , 0) die beiden extrempunkte sind? also max und min?
danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Achtzig,
> f(x,y):= [mm](y^2-1)*sin(x)[/mm]
> lokale Extrema berechnen
> hallo!
> also weiß nicht wie ich mir das mit derive ausrechnen
> lassen kann.
> aber kann das sein: (pi/2 + 2k*pi , 0) und (3pi/2 + 2k*pi
> , 0) die beiden extrempunkte sind? also max und min?
Wie kommst du denn zu dieser Vermutung?
Die ist ja bestimmt nicht vom Himmel gefallen 
Üblicherweise geht man doch bei einer Funktion in 2 Variablen so vor, um die Extrema zu finden:
Man berechnet die beiden partiellen Ableitungen [mm] $f_x(x,y)$ [/mm] und [mm] $f_y(x,y)$.
[/mm]
Damit bestimmt man die stationären Punkte, also diejenigen [mm] $(x,y)\in\IR^2$, [/mm] für die gilt [mm] $f_x(x,y)=0\wedge f_y(x,y)=0$
[/mm]
Das sind deine Kandidaten für Extrema.
Ob's wirklich welche sind und wenn ja, von welcher Art sie sind, kannst du anhand der Hessematrix (und deren Definitheit) in diesen stat.Punkten prüfen.
Also leg mal vor.
Wenn du's mal rechnest, wirst du ja sehen, ob die beiden Punkte oben als Extrema infrage kommen ...
>
> danke schonmal
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Achtzig |
nach x abgeleitet: [mm] (y^2 [/mm] -1) * cos(x)
nach y abgeleitet: 2y*sin(x)
mögliche punkte wie oben + (0,1) und (pi,1)
und dann hessematrix:
2mal nach x: [mm] (-y^2 [/mm] + 1)*sin(x)
2mal nach y: 2*sin(x)
nach x und y: 2*y*cos(x)
--> Hessematrix indefinit für (0,1) und (pi,1)
--> für (pi/2 , 0) pos definit --> Minimum
--> für (3pi/2 , 0) negativ definit --> Maximum
und wegen der periodizität von sin mus man halt jeweils um (+ 2k*pi) erweitern
stimmt das alles so oder hab ich was vergessen?
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Hallo nochmal,
> nach x abgeleitet: [mm](y^2[/mm] -1) * cos(x)
> nach y abgeleitet: 2y*sin(x)
>
> mögliche punkte wie oben + (0,1) und (pi,1)
Ich komme auf noch mehr Punkte
Die Bedingung [mm] $y^2-1=0$ [/mm] bzw. [mm] $y^2=1$ [/mm] liefert dir doch [mm] $y=\pm [/mm] 1$
>
> und dann hessematrix:
> 2mal nach x: [mm](-y^2[/mm] + 1)*sin(x)
> 2mal nach y: 2*sin(x)
> nach x und y: 2*y*cos(x) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Richtig!
>
> --> Hessematrix indefinit für (0,1) und (pi,1)
> --> für (pi/2 , 0) pos definit --> Minimum
> --> für (3pi/2 , 0) negativ definit --> Maximum
>
> und wegen der periodizität von sin mus man halt jeweils um
> (+ 2k*pi) erweitern
>
> stimmt das alles so oder hab ich was vergessen?
Das ist im großen und ganzen ok, aber vermutlich wegen der schlechten Handhabung mit dem Formeleditor etwas schwer nachzuvollziehen
Aber die eine verschluckte Lösung (siehe oben $y=-1$) solltest du unbedingt noch berücksichtigen ...
Und dir die Hessematrizen wirklich mal in den allg. stat. Punkten hinschreiben, etwa [mm] $H_f(k\cdot{}\pi,1), H_f(k\cdot{}\pi,-1) [/mm] \ \ [mm] (k\in\IZ)$ [/mm] usw.
Da sind ja noch ein paar Dinge bzgl. der Hessematrix zu berücksichtigen: für gerades $k$ ist [mm] $\cos(k\pi)=1$, [/mm] für ungerades $k$ aber [mm] $\cos(k\pi)=-1$ [/mm] ...
Aber es sieht schon ganz gut aus ...
Schreibe es dir nur für die Übung oder HA komplett auf ...
LG
schachuzipus
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