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| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion [mm]f(x)=x^2*e^(ax) [/mm] mit a >0
Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f, und skizzieren Sie den Verlauf ihres Graphen. |
was ich gemacht habe :
1. ableitung bilden :[mm] 2*x^(ax)+a*x^2*e^(ax)[/mm]
2. e ausklammern nach [mm]e^(ax)*(2*x+ax^2)[/mm]
3. erste ableitung null setzen!
hier ist auch meine frage was ich mit [mm](2*x+ax^2)[/mm] machen soll? kann ich jetzt für a =1 einsetzen ? sonst weiss ich nciht wie ich das rechnen soll
ps es soll e^(xa) heissen leider klappt die darstellung nicht so gut in der formel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Fr 23.01.2015 | | Autor: | abakus |
> Wir betrachten die Funktion [mm]f(x)=x^2*e^(ax) [/mm] mit a >0
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f, und
> skizzieren Sie den Verlauf ihres Graphen.
> was ich gemacht habe :
> 1. ableitung bilden :[mm] 2*x^(ax)+a*x^2*e^(ax)[/mm]
> 2. e
> ausklammern nach [mm]e^(ax)*(2*x+ax^2)[/mm]
> 3. erste ableitung null setzen!
> hier ist auch meine frage was ich mit [mm](2*x+ax^2)[/mm] machen
> soll? kann ich jetzt für a =1 einsetzen ? sonst weiss ich
> nciht wie ich das rechnen soll
Hallo
löse die Gleichung [mm]2x+ax^2=0[/mm].
Hier: x ausklammern und Satz vom Nullprodukt anwenden.
Den Faktor [mm]e^{ax}[/mm] musst du hier nicht mitziehen, weil der nie Null werden kann.
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> ps es soll e^(xa) heissen leider klappt die darstellung
> nicht so gut in der formel
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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2x [mm] +ax^2 [/mm] lösen war ja meine frage was soll ich mit a machen wenn ich
x ausklammere habe ich [mm]x*(2+x*a/x)[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Fr 23.01.2015 | | Autor: | abakus |
> 2x [mm]+ax^2[/mm] lösen war ja meine frage was soll ich mit a
> machen wenn ich
>
> x ausklammere habe ich [mm]x*(2+x*a/x)[/mm]
Nein.
[mm] $2x+ax^2=x(2+ax)$. [/mm] Unter welchen beiden möglichen Bedingungen wird dieses Produkt 0?
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[mm]x(2+ax)[/mm]
wird null wenn x=0 und x=-2
aber was ich mit machen soll verstehe ich immer noch nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Fr 23.01.2015 | | Autor: | abakus |
> [mm]x(2+ax)[/mm]
>
> wird null wenn x=0
Das stimmt.
> und x=-2
das stimmt meist nicht. Es würde nur stimmen, wenn a zufällg den Wert 1 annimmt. Allerdings kann a auch irgendeine andere Zahl sein.
Du musst die Gleichung
2+ax=0 mit zwei Rechenbefehlen nach x umstellen.
> aber was ich mit machen soll verstehe ich immer noch nicht
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ok dann stelle ich [mm]2+ax[/mm] nach x um und erhalte [mm]x=-2/a[/mm]
das ist vermutlich der wert den ich in die ursprungsgleichung einsetzten kann
für den y wert des nullpunktes hoffe ich
und wenn ja wann setzte ich a >0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Fr 23.01.2015 | | Autor: | abakus |
> ok dann stelle ich [mm]2+ax[/mm] nach x um und erhalte [mm]x=-2/a[/mm]
> das ist vermutlich der wert den ich in die
> ursprungsgleichung einsetzten kann
> für den y wert des nullpunktes hoffe ich
>
> und wenn ja wann setzte ich a >0
Laut Aufgabenstellung sind für a nur positive Werte zugelassen. Du brauchst das also nicht extra größer 0 zu setzen.
Halten wir fest: die erste Ableitung wird 0 an den beiden Stelle x=0 und x=-2/a.
Diese beiden Stellen sind also eventuell lokale Extremstellen.
Bilde nun die zweite Ableitung und teste für diese beiden Stellen, ob die zweite Ableitung dort positiv oder negativ ist.
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ok vielen dank habe ich gemacht
2 ableitung ist
[mm]a^2*x^2*e^(ax)+4axe^(ax)+2*e^(ax)[/mm]
an der stelle 0
bleibt [mm]2*e^(a0) =2*1[/mm]
also f''(0)=2 => tiefpunkt
muss ich jetzt die gleichung für -2/a noch lösen ?
oder kann ich damit argumentieren das es ein hochpunkt sein
muss weil es keine zwei tiefpunkte nacheinander geben kann
also das glaube ich das es so ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:46 Sa 24.01.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> ok vielen dank habe ich gemacht
> 2 ableitung ist
> [mm]a^2*x^2*e^(ax)+4axe^(ax)+2*e^(ax)[/mm]
>
> an der stelle 0
>
> bleibt [mm]2*e^(a0) =2*1[/mm]
>
> also f''(0)=2 => tiefpunkt
Korrekt!
>
> muss ich jetzt die gleichung für -2/a noch lösen ?
Überhaupt nicht! Die Kandidaten für die Extremstellen hast du schon (mit Hilfe der 1. Ableitung) gefunden. Du mußt jetzt noch x = -2/a in die 2. Ableitung einsetzen, um zu prüfen, ob an der Stelle wirklich ein Extremum vorliegt und wenn ja, von welcher Art es ist. Dabei sollte dir helfen, daß [mm] e^{irgendwas} [/mm] immer > 0 ist.
> oder kann ich damit argumentieren das es ein hochpunkt
> sein
> muss weil es keine zwei tiefpunkte nacheinander geben kann
> also das glaube ich das es so ist
Ganz so ist es nicht. [mm] x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] hat 2 Tiefpunkte.
Gruß aus HH
Dieter
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ok ich setzte in die zweite ableitung für x=-2/a ein
und erhalte [mm]f''(-2/a)=(\bruch{-2}{a})^2*x^2e^(\bruch{-2x}{a}) +4\bruch{-2}{a}*x*e^(\bruch{-2x}{a})+2e^(\bruch{-2x}{a})[/mm]
wie soll ich das jetzt lösen kann jetzt für a eine zahl>0 einsetzten zb 1 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 So 25.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> ok ich setzte in die zweite ableitung für x=-2/a ein
> und erhalte
> [mm]f''(-2/a)=\left(\bruch{-2}{a}\right)^2*x^2e^{\bruch{-2x}{a}} +4\bruch{-2}{a}*x*e^{\bruch{-2x}{a}}+2e^{\bruch{-2x}{a}}[/mm]
Geschweifte Klammern sind der Trick
>
> wie soll ich das jetzt lösen kann jetzt für a eine zahl>0
> einsetzten zb 1 ?
Damit kannst Du einen Versuch unternehmen, um es für diese eine Zahl zu testen. Dann musst Du es für jede andere Zahl wiederholen. Das wird lange dauern.
Das Ziel ist ja nur, herauszufinden, ob f'' größer oder kleiner als Null ist.
Erster Schritt: e hoch irgendetwas ist immer größer als Null. Du kannst da einen Faktor abspalten und den Rest untersuchen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 So 25.01.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo bobbybrown,
wenn Du den Wert (-2/a) für y in Deine zweite Ableitung einsetzt, kann beim besten Willen keine Variable x mehr in Deiner zweiten Ableitung vorkommen. In Deinem angegebenen Ergebnis taucht jedoch x noch auf.
Viele Grüße,
Infinit
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ja du hasst recht da habe ich mich vertan müsste also lauten
[mm]
f''(x)=a^2x^2e^{ax}+4axe^{ax}+2e^{ax}
f''(-2/a )=a^2(\bruch{-2}{a} )^2e^{a(\bruch{-2}{a} )}+4a(\bruch{-2}{a} )e^{a(\bruch{-2}{a} )}+2
[/mm]
dann kann ich e^irgendwas durch 1 ersetzen glaube ich und erhalte
[mm]
f''(-2/a )=a^2(\bruch{-2}{a} )^2)}+4a(\bruch{-2}{a} )e^{a(\bruch{-2}{a} )}+2
f''(-2/a )=\bruch{a^2+4}{a^2}+\bruch{-8a}{a}+2
f''(-2/a )=4-8+2 =-2 => hochpunkt !
[/mm]
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Hallo bobbybrown,
> ja du hasst recht da habe ich mich vertan müsste also
> lauten
>
> [mm]
f''(x)=a^2x^2e^{ax}+4axe^{ax}+2e^{ax}
f''(-2/a )=a^2(\bruch{-2}{a} )^2e^{a(\bruch{-2}{a} )}+4a(\bruch{-2}{a} )e^{a(\bruch{-2}{a} )}+2
[/mm]
>
> dann kann ich e^irgendwas durch 1 ersetzen glaube ich und
> erhalte
>
> [mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f''(-2/a )=a^2(\bruch{-2}{a} )^2)}+4a(\bruch{-2}{a} )e^{a(\bruch{-2}{a} )}+2
f''(-2/a )=\bruch{a^2+4}{a^2}+\bruch{-8a}{a}+2
Bei allen Summanden fehlt die Exponentialfunktion.
f''(-2/a )=4-8+2 =-2 => hochpunkt !
Genauer: [mm]f''\left(\bruch{-2}{a}\right)=-2e^{-2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:53 Sa 24.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo!
> [mm]x(2+ax)[/mm]
>
> wird null wenn x=0 und x=-2
Auch wenn der zweite Teil falsch ist, solltest du dir klar machen,
dass das Wort "und" nicht korrekt ist. Dort muss ein "oder" stehen,
denn es reicht aus, wenn eine Bedingung erfüllt ist. Verständlich?
Gruß
DieAcht
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> > [mm]x(2+x)[/mm]
(a=1 gesetzt, damit es auch stimmt)
> > wird null wenn x=0 und x=-2
>
> Du solltest dir klar machen,
> dass das Wort "und" nicht korrekt ist. Dort muss ein
> "oder" stehen, denn es reicht aus, wenn eine Bedingung
> erfüllt ist.
Hallo DieAcht,
wir haben hier allerdings eine Situation, die man durchaus
auch mit "und" sprachlich korrekt ausdrücken kann:
[mm] $\green{ x*(2+x)}$ [/mm] wird null für x=0 und für x=-2
oder etwas ausführlicher:
Die Gleichung [mm] $\green{ x*(2+x)\ =\ 0}$ [/mm] ist für x=0 und auch für x=-2 erfüllt.
Um die oder/und - Varianten noch besser auf den Punkt zu
bringen:
Oder-Variante:
Wenn x eine Lösung der Gleichung [mm] $\blue{ x*(2+x)\ =\ 0}$ [/mm] ist, ist x=0 oder x=-2
Und-Variante:
Lösungen der Gleichung [mm] $\green{ x*(2+x)\ =\ 0}$ [/mm] sind die Werte [mm] $\green{ x_1=0}$ [/mm] und [mm] $\green{ x_2=-2}$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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