lokales Minimum in (0,0) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Fr 30.04.2010 | | Autor: | anouk |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] R^2 \to [/mm] R, (x,y) [mm] \mapsto [/mm] f(x,y) = (y - [mm] x^2)(y [/mm] - [mm] 2.x^2)
[/mm]
Man beweise:
(i) f hat in (0,0) kein lokales Minimum.
(ii) Für jedes (a,b) [mm] \in R^2\{(0,0)} [/mm] hat R [mm] \to [/mm] R, t [mm] \mapsto [/mm] f(ta, tb) in 0 ein lokales Minimum. |
Hallo zusammen!
Ich muss also diese zwei Behauptungen beweisen, aber ich bin schon in der ersten blockiert.
In der Tat bin ich wie folgt fortgegangen:
Ich habe alle zweite partielle Ableitungen von f im Punkt (0,0) gerechnet und habe ich so die Hesse Matrix:
H = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
Diese Matrix H ist positiv semidefinit und daraus folgt, dass f in (0,0) ein Minimum oder ein Sattelpunkt hat.
Ich berechne also: f(0, y) = [mm] y^2, [/mm] f(x,0) = [mm] 2.x^4 [/mm] Und deshalb hat die Funktion f in (0,0) ein Minimum (weil die Exponenten gerade sind).
Wo ist mein Fehler?
Danke für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Cybrina |
Hallo. Also ehrlich gesagt, ich weiß nicht, ob das so stimmt, wie ich das meine. Aber da bisher sonst noch niemand geantwortet hat...
Das Problem ist ja, dass [mm] f_{xx}=0 [/mm] und damit keine Aussage treffbar ist, was für eine Stelle vorliegt. Wenn du x oder y konstant hälst, hat die resultierende (2D)-Funktion ein Minimum. Aber man kann ja in eine andere Richtung "gehen". Wenn du z.B. um [mm] \epsilon>0 [/mm] in x-Richtung gehst, und um [mm] \bruch{3}{2}\epsilon^2 [/mm] in y-Richtung vom Koordinatenursprung weggehst, also in die Funktionsgleichung für [mm] (x+\epsilon) [/mm] statt x und [mm] (y+\bruch{3}{2}\epsilon^2) [/mm] statt y einsetzt, wird der Funktionswert negativ. Also kann bei (0,0) kein Minimum sein.
(Ich hab das vorher noch nie so betrachtet, finde es aber logisch :) Vlt. kann das noch wer bestätigen?)
Grüße,
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Sa 01.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Cybrina hat recht, aber man kann auch einfach die Kurven [mm] y+x^2, y=2x^2, [/mm] und [mm] y=1.5x^2 [/mm] betrachten.
wie sieht die Flaeche laengs dieser Kurven aus?
b) betrachtet die flaeche, wenn du laengs Geraden durch (0,0) durchlaeufst.
Gruss leduart
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