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hi, ich mal wieder!
mir ist an den polynomen immer noch etwas nicht klar und bevor ich weitere fragen stelle, hier die fundamentelle frage:
also wir beschränken uns mal auf den polynomring K[t], wobei K ein Körper ist. ich weiß, dass t eine unbestimmte ist, in das man alles einsetzen darf, 'was sinnvoll ist'. aber ich habe probleme mit dieser ungenauen definition. das kann man doch spezifizieren, was kann ich in t denn alles einsetzen?
meine gedanken: elemente eines beliebigen ringes R mit 1 auf dem eine weiter multiplikation mit elementen aus K def. ist: *:KxR->R (k,r) [mm] \mapsto [/mm] k*r?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Fr 18.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> mir ist an den polynomen immer noch etwas nicht klar und
> bevor ich weitere fragen stelle, hier die fundamentelle
> frage:
> also wir beschränken uns mal auf den polynomring K[t], wobei K ein Körper ist. ich weiß, dass t eine unbestimmte ist, in das man alles einsetzen darf, 'was sinnvoll ist'. aber ich habe probleme mit dieser ungenauen definition. das kann man doch spezifizieren, was kann ich in t denn alles einsetzen?
> meine gedanken: elemente eines beliebigen ringes R mit 1 auf dem eine weiter multiplikation mit elementen aus K def. ist: *:KxR->R (k,r) [mm]\mapsto[/mm] k*r?
ja, ich denke das trifft es recht genau. du benötigst einen ring - die multiplikation benötigt man um die potenzen von $t$ zu berechnen, die addition um am ende den gesamtausdruck auswerten zu könnne. um die notwendigkeit einer $1$ könnte man sich vielleicht noch streiten. die skalarmultiplikation (diese macht die additive gruppe des rings im allgemeien zu einem $K$-vektorraum) benötigt man um das produkt mit den koeffizienten aus $K$ zu berechnen.
typische beispiele sind z.b. das einsetzen von elemneten aus einem erweiterungskörper, also etwa das einsetzen von $z [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] in ein polynom $f [mm] \in \mathbb{Q}[z]$ [/mm] (solche konstruktionen benötigt man in der algebra öfter).
ein ganz interesantes beispiel ist auch das einsetzen einer matrix [m]A \in M(K, n \times n)[/m] in polynome [m]f \in K[t][/m]. für den spezialfall [m]f(t) = \det (A - t E_n) \in K[t][/m] ([m]f[/m] ist das charakteristische polynom von [m]A[/m]) besagt der satz von cayley-hamilton:
[m] f(A) = 0 [/m],
wobei die [m] 0 [/m] auf der rechten seite die null des matrizen-rings, also die null-matrix ist!
vielleicht ist es durch diese beispiele etwas klarer geworden, sonst frage einfach nach.
grüße
andreas
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also die vorige frage (die hier stand) hat sich erledigt, mithilfe der mitteilung von philipp und einem algebrabuch hat sich das geklärt.
für das spezielle problem, dass ich ein A [mm] \in [/mm] M(nxn;K) in ein f [mm] \in [/mm] K[t] "einsetzen" will, stellt sich die frage ob es genau eine K-Algebra M(nxn;K) gibt, sonst wäre "einsetzen" nicht eindeutig.
d.h.: gibt es genau eine abbildung a:K->M(nxn;K) mit den eigenschaften:
[mm] a(1)=E_{n}
[/mm]
a(k+l)=a(k)+a(l)
a(kl)=a(k)a(l)
a(k)A=Aa(k)
für alle k,l [mm] \in [/mm] K, A [mm] \in [/mm] M(nxn;K)?
es gibt die abbildung b:K->M(nxn;K) k [mm] \mapsto [/mm] diag(k), die die obigen eigenschaften erfüllt. gibt es mehr?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 So 20.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich denke die abildung ist schon eindeutig,denn aus
[m] \forall \, A \in M(n \times n, K) \; \forall \, k \in K : A \cdot a(k) = a(k) \cdot A [/m]
folgt, dass $a(k)$ eine diagonalmatrix mit immer dem selben eintrag sein muss, also eine vielfache der einheitsmatrix (suche mal im internet nach zentrum der GL - also der gruppe der invertierbaren matzrizen), da dies die einzigen matrizen sind, die mit allen anderen matrizen kommutieren. da sich $K$ mit den entsprechenden operationen einbetten lassen soll muss aber auch gelten, dass bei $a(k)$ stets $k$ auf der hauptdiagonalen steht.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Philipp-ER |
Hi.
Deine Idee ist schon sehr gut.
Üblicherweise verwendet man hier den Begriff der Algebra über einem Ring (Ring sei hier stets als Ring mit 1 verstanden).
Definition:
Es sei R ein kommutativer Ring. Eine R-Algebra besteht aus einem Ring A und einem Ringhomomorphismus [mm] $\phi:R\to [/mm] A$, derart dass alle Elemente aus [mm] $\phi(R)$ [/mm] mit den Elementen aus A vertauschbar sind, also [mm] $\phi(r)a=a\phi(r)$ [/mm] für alle [mm] $r\in [/mm] R, [mm] a\in [/mm] A$ gilt.
Statt [mm] $\phi(r)a$ [/mm] schreibt man dann auch einfach $ra$.
Es sind dann gerade die Elemente der R-Algebren, die man in die Elemente von R[T] "einsetzen" kann. Präzise:
Es sei R ein kommutativer Ring, R[T] der Polynomring einer Variablen über R, sowie A eine beliebige R-Algebra. Zu jedem [mm] $t\in [/mm] A$ gibt es dann einen eindeutig bestimmten R-Algebrahomomorphismus [mm] $\Phi:R[T]\to [/mm] A$ mit [mm] $\Phi(T)=t$. [/mm]
Wie R[T] als R-Algebra aufzufassen ist, dürfte ja klar sein.
Dabei gilt folgende Definition:
Es seien A,B R-Algebren. Ein Homomorphismus von R-Algebren [mm] $\Phi:A\to [/mm] B$ ist ein Ringhomomorphismus, so dass [mm] $\Phi(ra)=r\Phi(a)$ [/mm] für alle [mm] $r\in [/mm] R, [mm] a\in [/mm] A$ gilt.
Ich hoffe, das klärt die Sache ein bisschen.
Gruß
Philipp
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