masstheoretische Frage zu fkt. < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Sa 21.07.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo zusammen
In der Masstheorie gelten ja viele Sätze für nicht negative messbare Funktionen. Nun steht in meinem Skript immer wieder nach einer Eigenschaft, dies gilt für $f$ messbar und nicht negativ oder $f$ messbar und beschränkt.
Kann man all die Sätze in der Masstheorie, welche für nicht negative messbare Funktionen gelten einfach auch für alle messbaren beschränkten Funktionen "erweitern"?
Wenn ja, warum genau?
Danke und Gruss
physicus
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Hallo,
kannst du ein Beispiel nennen, an dem man das genauer erörtern kann?
Ich glaube nicht, dass hier eine pauschale Antwort möglich ist.
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Mo 23.07.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
Wie Stefan schon schrieb, ist das sehr allgemein gefragt. Deswegen nur eine sehr allgemeine Antwort:
Nicht jeder Satz fuer nicht-negative messbare Funktionen uebertraegt sich auf beliebige messbare Funktionen. Einige aber schon.
Zum Beispiel gilt fuer nicht-negative messbare Funktionen [mm] $\int_\Omega [/mm] f [mm] \; d\omega [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] P(f [mm] \neq [/mm] 0) = 0$. Hier ist die Voraussetzung nicht-negativ wichtig, bei beliebigen messbaren Funktionen brauchst du [mm] $\int_A [/mm] f [mm] \; d\omega [/mm] = 0$ fuer alle messbaren $A [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] aus Voraussetzung (insb. fuer $A = [mm] \{ z \mid f(z) \ge 0 \}$ [/mm] und das Komplement von $A$).
Allgemein gilt: durch die Aufteilung $f = f^+ - f^-$ in Positiv- und Negativanteil lassen sich viele Ergebnisse uebertragen. Aber eben nicht alle. Teilweise braucht man neue Voraussetzungen (z.B. integrierbar, oder mehr Bedingungen wie im Beispiel oben).
LG Felix
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