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[mm] \beta: \IR^3x\IR^3 ->\IR [/mm] ist bilinieaform :
[mm] \beta(v,w)=v_1w_2+2v_2w_2+3v_3w_3+3v_1w_1-v_3w_3+eine [/mm] matrix.
a) was ist die strukturmatrix von [mm] \beta [/mm] bezüglich der Standardbasis?
b) gibt es eine Basis von [mm] \IR, [/mm] so dass die Strukturmatrix von [mm] \beta [/mm] bezügl. B die Einheitsmatrix ist?
| Aufgabe |
a)
[mm] M=\pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
um die Strukturmatirx bzl standardbasis zu bekommen muss man mit M einen normalen basiswechsel durchführen, gell?
b)
Basis A = [mm] {\vektor{3 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 3 \\ -1} }
[/mm]
ich würde so vorgehen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }=\pmat{ x_1 & y_1 & z_3 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 }*\pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 }*\pmat{ a_1 & b_1 & c_3 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 }
[/mm]
Man soll also überprüfen, ob es die [mm] matirzen\pmat{ x_1 & y_1 & z_3 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 } und\pmat{ a_1 & b_1 & c_3 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 } [/mm] gibt, stimmts?
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hab die aufgabe noch mal etwas anders ausgedrückt
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Hi,
> [mm]\beta: \IR^3x\IR^3 ->\IR[/mm] ist bilinieaform :
>
> [mm]\beta(v,w)=v_1w_2+2v_2w_2+3v_3w_3+3v_1w_1-v_3w_3+eine[/mm]
> matrix.
>
> a) was ist die strukturmatrix von [mm]\beta[/mm] bezüglich der
> Standardbasis?
> b) gibt es eine Basis von [mm]\IR,[/mm] so dass die Strukturmatrix
> von [mm]\beta[/mm] bezügl. B die Einheitsmatrix ist?
>
>
>
> a)
> [mm]M=\pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
Die Matrixdarstellung ist ok!
> um die
> Strukturmatirx bzl standardbasis zu bekommen muss man mit M
> einen normalen basiswechsel durchführen, gell?
Die Matrix steht schon da. Was für Baiswechsel soll das jetzt sein?
>
> b)
> Basis A = [mm]{\vektor{3 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 3 \\ -1} }[/mm]
>
>
> ich würde so vorgehen:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }=\pmat{ x_1 & y_1 & z_3 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 }*\pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 }*\pmat{ a_1 & b_1 & c_3 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 }[/mm]
>
> Man soll also überprüfen, ob es die [mm]matirzen\pmat{ x_1 & y_1 & z_3 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 } und\pmat{ a_1 & b_1 & c_3 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 }[/mm]
> gibt, stimmts?
Damit die Bilinearform [mm] \beta [/mm] überhaupt eine Chance hat, die Identität als Darstellungsmatrix zu haben, muss sie symmetrisch sein, da die Identität selbst ja symmetrisch ist. So Teilfrage b) lässt sich folgendermaßen beantworten: ist [mm] \beta [/mm] eine symmetrische Bilinearform?
Gruss,
logarithmus
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> Hi,
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> > [mm]\beta: \IR^3x\IR^3 ->\IR[/mm] ist bilinieaform :
> >
> > [mm]\beta(v,w)=v_1w_2+2v_2w_2+3v_3w_3+3v_1w_1-v_3w_3+eine[/mm]
> > matrix.
> >
> > a) was ist die strukturmatrix von [mm]\beta[/mm] bezüglich der
> > Standardbasis?
> > b) gibt es eine Basis von [mm]\IR,[/mm] so dass die
> Strukturmatrix
> > von [mm]\beta[/mm] bezügl. B die Einheitsmatrix ist?
> >
> >
> >
> > a)
> > [mm]M=\pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
>
> Die Matrixdarstellung ist ok!
>
> > um die
> > Strukturmatirx bzl standardbasis zu bekommen muss man mit M
> > einen normalen basiswechsel durchführen, gell?
>
> Die Matrix steht schon da. Was für Baiswechsel soll das
> jetzt sein?
die aufgabe ist es doch die strukturmatrix bzl der standbasis also
100
010
001
darzustellen.
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Mit welcher Baisi hast du denn in Teilaufgabe a) gearbeitet, bzw. wenn $v = [mm] (v_1,v_2,v_3)$ [/mm] ist, was sind diese [mm] v_i [/mm] 's?!
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??
M hab ich einfach so bestimmt, indem ich die Werte von [mm] \beta [/mm] in die Matrix geworfen hab.
so, dann bin ich aber noch nicht fertig oder?
Die Basis von M sind doch die spaltenvektoren von M, (weil diese hier linear unabhängig sind.)
Um jetzt die Strukturmatrix bzl standardbasis zu bekommen, bin ich so vorgegangen:
Folgende 3 GLS lösen um eine Übergangsmatrix zu berechnen:
3 1 0 1
0 2 3 0
1 0 -1 0
3 1 0 0
0 2 3 1
1 0 -1 0
3 1 0 0
0 2 3 0
1 0 -1 1
.....
ist dieser weg in ordnung?
ich weiß nicht was du mit [mm] v=^{t}=(v_1,v_2,v_3) [/mm] ?
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> ich weiß nicht was du mit [mm]v=^{t}=(v_1,v_2,v_3)[/mm] ?
Damit wollte ich wissen, mit welcher Basis du arbeitest.
Ja gut.
also für teilaufgabe bleibt die Darstellungsmatrix bzgl. der Standard Basis [mm] \mathcal{A} [/mm] = [mm] (e_1,e_2,e_3) [/mm] darszustellen.
Es ist dann: [mm] M_\mathcal{A}(\beta) [/mm] = [mm] ((\beta(e_i,e_j))_{i,j}) [/mm] , i.j = 1,2,3.
Die Frage b) bleibt erstmal eine Existenzfrage, also gibt es eine Basis bzgl. der die darstellende Matrix von [mm] \beta [/mm] gleich der Identität ist? Da [mm] \beta [/mm] nicht symmetrisch ist, kann es keine solche Basis geben, daher braucht man nicht irgenwelche Basistransformationsmatrizen zu suchen.
Gruss,
logarithmus
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