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Hallo,
Wie bestimmt man zb. das maximale Ideal von [mm] \IR[X]/(X^2-2*X+1).Ich [/mm] habe keine Ahnung wie man da vor geht.
Wäre super,wenn mir da jemand weiter helfen würde.
LG
eva marie
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Hallo Eva Marie,
[mm] $\IR[x]$ [/mm] ist ja ein Hauptidealring, es genügt also, die irreduziblen Teiler von [mm] $x^2-2x+1$ [/mm] zu bestimmen ...
Allg. sind maximale Ideale in Polynomringen [mm] $\mathbb{K}[x]$ [/mm] über Körpern [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] die von irreduziblen Polynomen $f$ erzeugten Hauptideale [mm] $\langle f\rangle$ [/mm] (bzw. $(f) \ $)
Nützlich ist auch der Satz, der besagt, dass in einem kommutativen Ring $R$ mit Einselement 1 ein Ideal $I$ genau dann maximal ist, wenn $R/I$ ein Körper ist
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:11 Do 04.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> [mm]\IR[x][/mm] ist ja ein Hauptidealring, es genügt also, die
> irreduziblen Teiler von [mm]x^2-2x+1[/mm] zu bestimmen ...
>
> Allg. sind maximale Ideale in Polynomringen [mm]\mathbb{K}[x][/mm]
> über Körpern [mm]\mathbb{K}[/mm] die von irreduziblen Polynomen [mm]f[/mm]
> erzeugten Hauptideale [mm]\langle f\rangle[/mm] (bzw. [mm](f) \ [/mm])
>
> Nützlich ist auch der Satz, der besagt, dass in einem
> kommutativen Ring [mm]R[/mm] mit Einselement 1 ein Ideal [mm]I[/mm] genau
> dann maximal ist, wenn [mm]R/I[/mm] ein Körper ist
Ein wichtiger Punkt fehlt noch, naemlich das Korrespondenzprinzip:
Ist [mm] $\pi [/mm] : R [mm] \to [/mm] S$ ein surjektiver Ringhomomorphismus, so entsprechen die Ideale $I$ in $S$ genau den Idealen $J = [mm] \pi^{-1}(I)$ [/mm] von $R$ mit [mm] $\ker \pi \subseteq [/mm] J$.
Sprich: die Ideale in $S$ sind genau von der Form [mm] $\pi(J)$, [/mm] wobei $J [mm] \subseteq [/mm] R$ ein Ideal ist mit [mm] $\ker \pi \subseteq [/mm] J$.
Insbesondere entsprechen die maximalen Ideale in $S$ genau den maximalen Idealen in $R$, die [mm] $\ker \pi$ [/mm] enthalten.
Wenn du jetzt $S = R/(f)$ hast und [mm] $\pi [/mm] : R [mm] \to [/mm] R/(f)$ die kanonische Projektion ist, dann entsprechen die maximalen Ideale in $R/(f)$ also genau den maximalen Idealen in $R$, die $f$ enthalten. Das zusammen mit dem, was schachuzipus geschrieben hat, liefert dir die Loesung.
LG Felix
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Hallo,
Naja,also so ganz hab ich das leider noch nicht verstanden.Also soweit ich das verstanden habe,ist:
[mm] \pi [/mm] : R [mm] \to [/mm] R/(f) ein surj.Ringhomomorphismus,also:
[mm] \pi: \IR[X] [/mm] ---> [mm] \IR[X]/(X^2-2*X+1)
[/mm]
ker [mm] (\pi)=(X^2-2*X+1)=(X-1)^2 [/mm] (ist (X-1) der irreduzible Teiler?)
[mm] (X-1)^2*r=I [/mm] (=Hauptideal) r [mm] \in \IR [/mm] ?
Hab ich das richtig verstanden?
LG
Eva marie
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Hallo,
kann mir vielleicht nochmal jemand helfen.wäre euch echt sehr dankbar!!
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Sa 06.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo schachuzipus,
Du hattest ja geschrieben:
---Allg. sind maximale Ideale in Polynomringen $ [mm] \mathbb{K}[x] [/mm] $ über Körpern $ [mm] \mathbb{K} [/mm] $ die von irreduziblen Polynomen f erzeugten Hauptideale $ [mm] \langle f\rangle [/mm] $ (bzw. $ (f) \ $)----
Reicht es dann einfach zu sagen dass (f)=(X-1) ist und kein irreduzibles Polynom ist und somit keine irreduziblen Teiler hat? und dass (f) deswegen das maximale Ideal ist?
außerdem:
---Nützlich ist auch der Satz, der besagt, dass in einem kommutativen Ring R mit Einselement 1 ein Ideal I genau dann maximal ist, wenn R/I ein Körper ist ---
R/(x-1) ist ein Körper da...?
LG
Eva Marie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 09.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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