max{f,g} und min{f,g} stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:39 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Die reellwertigen Funktionen f und g seien auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig.
Zeigen Sie, dass dann auch max(f,g) und min(f,g) auf [a,b] stetig sind. |
Hallo,
also ich habe mir folgendes dazu überlegt.
Ich habe gefunden, dass für das max und min gilt:
[mm] max{a,b}=\bruch{1}{2}(a+b+|a-b|)
[/mm]
[mm] min{a,b}=\bruch{1}{2}(a+b-|a-b|
[/mm]
So, dass kann man ja mit Fallunterscheidung schnell zeigen.
Kann ich daraus dann folgern, dass
[mm] max(f,g)(x)=max(f(x),g(x))=\bruch{1}{2}(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)
[/mm]
und [mm] min(f,g)(x)=min(f(x),g(x))=\bruch{1}{2}(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|)
[/mm]
für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt ?
Dann wären max(f,g) und min(f,g) Zusammensetzungen stetiger Funktionen.
Mein Problem ist nur, dass wir (meine ich), sowas |f(x)-g(x)| , also Betrah und Differenz sind stetig, noch nicht gezeigt haben.
Liebe Grüße, Ferolei
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Hiho,
> Kann ich daraus dann folgern, dass
>
> [mm]max{f,g}(x)=max{f(x),g(x)}=\bruch{1}{2}(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)[/mm]
> und
> [mm]min{f,g}(x)=min{f(x),g(x)}=\bruch{1}{2}(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|)[/mm]
> für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt ?
Jop, kannst du.
> Dann wären max{f,g} und min{f,g} Zusammensetzungen
> stetiger Funktionen.
Korrekt.
> Mein Problem ist nur, dass wir (meine ich), sowas
> |f(x)-g(x)| , also Betrah und Differenz sind stetig, noch
> nicht gezeigt haben.
Na dann zeig das doch 
Allerdings sind das die ersten Dinge, die man bei Stetigkeit zeigt, wenns um Kompositionen von stetigen Funktionen geht.
Insofern schlag da mal nochmal genau nach!
MFG,
Gono
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hmmm, also ich denke, dass die Differenz zweier Funktionen stetig ist, folgt aus den Grenzwertsätzen. Also wäre zu zeigen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (f-g)(x_n)=(f-g)(a) [/mm] mit [mm] x_n [/mm] Folge und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a.
[/mm]
Aber was soll man da zeigen? In Büchern steht immer, dass das gilt, weil [mm] f(x_n) [/mm] wieder eine Folge ist...aber ich habe doch auch noch g?
Ich weiß nicht unter was ich für den Betrag suchen muss...kann mir jemand sagen, unter welchem Stichwort ich suchen muss?
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> Hmmm, also ich denke, dass die Differenz zweier Funktionen
> stetig ist, folgt aus den Grenzwertsätzen. Also wäre zu
> zeigen, dass
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (f-g)(x_n)=(f-g)(a)[/mm] mit [mm]x_n[/mm]
> Folge und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a.[/mm]
Korrekt, das ist ein Einzeiler:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (f-g)(x_n) = \limes_{n\rightarrow\infty} (f(x_n) - g(x_n)) = \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) - \limes_{n\rightarrow\infty} g(x_n) = f(a) - g(a) = (f-g)(a) [/mm]
Überlege dir nun mal, warum jedes Gleichheitszeichen gilt.
Und dann mach das selbe mit dem Betrag.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
[mm] >\limes_{n\rightarrow\infty} (f-g)(x_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (f(x_n) [/mm] - [mm] g(x_n)) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g(x_n) [/mm] = f(a) - g(a) = (f-g)(a)
>
> Überlege dir nun mal, warum jedes Gleichheitszeichen
> gilt.
> Und dann mach das selbe mit dem Betrag.
>
Ja, das ist ja eigentlich klar, weil jede Funktion ja eine mehrfachhintereinanderausführung konvergenter Folgen ist,oder?
Für den Betrag gilt dann analog:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|(f-g)|(x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}|f(x_n)-g(x_n)|=|a-b| [/mm] so???
> MFG,
> Gono.
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> [mm]>\limes_{n\rightarrow\infty} (f-g)(x_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (f(x_n)[/mm] - [mm]g(x_n))[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] -
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(x_n)[/mm] = f(a) - g(a) =
> (f-g)(a)
> Ja, das ist ja eigentlich klar, weil jede Funktion ja eine
> mehrfachhintereinanderausführung konvergenter Folgen
> ist,oder?
Da bleibt mir nur ein "hä?"
Pass auf: Wir haben da oben 4 Gleichheitszeichen, schreibe mir zu jedem Bitte mal, warum es gilt, also ich fang mal an mit.
1: Definition von (f-g)(x)
2: du
3: du
4: du
> Für den Betrag gilt dann analog:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|(f-g)|(x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}|f(x_n)-g(x_n)|=|a-b|[/mm]
> so???
Das stimmt schon, da fehlen mir aber noch einige Gleichheitszeichen.
Du hast 3, ich würde sagen du brauchst mindestens 7 damit dein Korrektor das akzeptiert.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 17.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Also ich versuche es mal:
Es ist: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (f-g)(x_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (f(x_n) [/mm] - [mm] g(x_n)) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g(x_n) [/mm] = f(a) - g(a) = (f-g)(a)
1. Gleichheitsszeichen: Definition von (f-g)(x)
2. gilt wegen Grenzwertsätze von Folgen, da die Funktion wieder eine Folge ist ?
3. a ist der Grenzwert der Folge [mm] x_n?
[/mm]
4. Definition von (f-g)(a) ?
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Hallo Ferolei,
> Also ich versuche es mal:
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> Es ist: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (f-g)(x_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (f(x_n)[/mm] - [mm]g(x_n))[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] -
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(x_n)[/mm] = f(a) - g(a) =
> (f-g)(a)
>
> 1. Gleichheitsszeichen: Definition von (f-g)(x)
> 2. gilt wegen Grenzwertsätze von Folgen, da die Funktion
> wieder eine Folge ist ?
Nun ja - "da die Funktion wieder eine Folge ist", klingt etwas holprig.
Du weißt wegen f und g stetig in a (das ist deine Voraussetzung), dass die Limiten [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g(x_n) [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] existieren - deswegen darfst du die Grenzwertsätze anwenden.
> 3. a ist der Grenzwert der Folge [mm]x_n?[/mm]
Nach Voraussetzung sind f und g stetig in a, also gilt [mm] g(x_{n}) \to [/mm] g(a), dasselb für f.
> 4. Definition von (f-g)(a) ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße,
Stefan
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