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Hallo zusammen,
in der Vorlesung haben wir folgende Aussage gehabt:
Sei I ein maximales homogenes Ideal mit V(I) [mm] $\not= \emptyset$.
[/mm]
Dann kann man das Ideal darstellen als I = [mm] $<\{c_i*X_j - c_j*X_i\}>$ [/mm] wobei $0 [mm] \le [/mm] i < j [mm] \le [/mm] n$ und [mm] c_0,...,c_n $\in \IC$
[/mm]
Irgendwie ist mir das nicht so einleuchtend!
Kann mir das jemand erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Mi 02.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo zusammen,
> in der Vorlesung haben wir folgende Aussage gehabt:
> Sei I ein maximales homogenes Ideal mit V(I) [mm]\not= \emptyset[/mm].
>
> Dann kann man das Ideal darstellen als I = [mm]<\{c_i*X_j - c_j*X_i\}>[/mm]
> wobei [mm]0 \le i < j \le n[/mm] und [mm]c_0,...,c_n[/mm] [mm]\in \IC[/mm]
Das ist aber gar nicht gut aufgeschrieben. Schreib mal lieber $I = [mm] \langle \{ c_i X_j - c_j X_i \mi 0 \le i < j \le n \} \rangle$ [/mm] mit [mm] $c_0, \dots, c_n \in \IC$.
[/mm]
> Irgendwie ist mir das nicht so einleuchtend!
> Kann mir das jemand erklären?
Das kannst du genauso mit dem Nullstellensatz beweisen. Zeige zuerst, dass Ideale der Form [mm] $\langle \{ c_i X_j - c_j X_i \mi 0 \le i < j \le n \} \rangle$ [/mm] homogen sind. Zeige dann, dass jedes andere homogene Ideal, welches den Punkt [mm] $[c_0 [/mm] : [mm] \dots [/mm] : [mm] c_n]$ [/mm] als Nullstelle hat, in diesem Ideal enthalten ist.
Beachte, dass (perfekte) homogene Ideale genau die Nullstellenmengen von Idealen im [mm] $\IC^{n+1}$ [/mm] sind, die zu einem Punkt auch die Ursprungsgerade durch diesen Punkt enthalten. (Die also sternfoermig um 0 herum sind.)
LG Felix
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