maximaler Gewinn < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Händler liefert Kaffee und Tee an einen Zwischenhändler. Ein Sack Kaffee wiegt 20 kg, ein Sack Tee 25 kg. Der LKW des Händlers kann höchstens 5000 kg transportieren. Der Zwischenhändler braucht höchstens 2/3 Mal soviel und mindestens halb so viele Säcke Kaffee wie Tee. Gewinn pro Sack Kaffee für den Händler 10, für Tee 15.
a) Formuliere die Funktion für den maximalen Gewinn. Nebenbedingungen sind durch Ungleichungen festzulegen.
b) Bestimmen Sie die optimale Kombination von Kaffee- und Teesäcken.
c) Wie hoch ist der maximale Gewinn? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Freunde,
ein Sack Kaffee=x wiegt 20kg, der Tee=y 25 kg, man kann höchstens 5000kg liefern. Gewinn pro Sack Kaffee 10, für Tee 15. Um den maximalen Gewinn zu ermitteln, muss ich doch 10x + 15y = ? berechnen. Was muss denn auf der rechten Seite stehen? Mit dem Satz "Der Zwischenhändler braucht höchstens 2/3 Mal soviel und mindestens halb so viele Säcke Kaffee wie Tee" kann ich irgendwie überhaupt nichts anfangen, wie soll ich den in Verbindung bringen zu den Angaben. Was ist mit Ungleichungen gemeint? Bei der optimalen Kombination von Kaffee- und Teesäcken müsste es ja 5000 = 20x + 25y heissen, aber wie finde ich so das Optimum raus? Ich hoffe, mir kann jemand ein wenig Licht ins Dunkel bringen? Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Fr 14.12.2007 | | Autor: | moody |
> Der Zwischenhändler braucht höchstens 2/3 Mal soviel und mindestens halb so viele Säcke Kaffee wie Tee
Dh. Du hast:
2/3y = x
0.5y = x
Da müsstest du eine Ungleichung draus machen.
2/3y > x > 0.5y
Die müsstest du nach x oder y auflösen und dann x oder y in deine 1. Gleichung einsetzen.
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Hallo moody,
erst einmal danke für deine Hilfe. Wenn ich die Ungleichung 2/3y > x > 0.5y nach x auflösen würde, hätte ich 2/3y - 0,5y > x, oder? Wie genau setz ich das denn in die Gleichung ein? Ist das überhaupt richtig, was ich geschrieben habe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 So 16.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo nochmal,
habe jetzt 5000 = 20 * (2/3-1/2) +25 y, daraus ergibt sich 5000 = 3,34 + 25y, y = 199,87. Wenn ich eine Probe des Ergebnisses mache, komme ich auch auf 5000, aber die optimale Menge soll ja aus dem perfekten Verhältnis von x und y sein, so habe ich aber nur das y. was muss ich denn machen, um die optimale Liefermenge zu bekommen? Irgendwie hab ich was wohl nicht ganz verstanden oder bin einfach zu blind heute. Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 16.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
wenn du die gefundenen Un-/Gleichung alle aufschreibst ist die Lösung schon fast gefunden. Also : x=Kaffee, y=Tee
Gewinn : G=10x+15y
mit : [mm] {5000\ge 20x+25y} \gdw {250-\bruch{5}{4}y\ge x} [/mm] (Gewicht)
und : [mm] \bruch{2}{3}y\ge x\ge \bruch{1}{2}y [/mm] (Bedarf)
Damit diese Bedingungen erfüllbar sind, muss folgendes gelten :
[mm] \bruch{2}{3}y\ge\bruch{1}{2}y [/mm] stimmt immer
[mm] 250-\bruch{5}{4}y\ge\bruch{1}{2}y \gdw \bruch{1000}{7}\ge [/mm] y (das ist jetzt die entscheidene Bedingung)
Somit gilt [mm] G\le 10(250-\bruch{5}{4}y)+15y=2500+\bruch{10}{4}y\le 2500+\bruch{10000}{28} [/mm] (die härtere Bedingung)
und [mm] G\le 10(\bruch{2}{3}y)+15y=\bruch{65}{3}y\le \bruch{65000}{21} [/mm] (stimmt dann sowieso)
Die Maxima sind natürlich immer die Fälle, in denen aus den Ungleichungen Gleichungen werden.
Ciao.
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