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| Aufgabe | | Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Sei [mm] a\in [/mm] R. Zeigen Sie, dass a genau dann in jedem maximalen Ideal enthalten ist, wenn 1-ax für jedes [mm] x\in [/mm] R invertierbar ist. |
Hallo,
ich sehe hier wirklich gar nichts. Man soll für den Beweis verwenden, dass jedes Ideal in einem maximalen Ideal enthalten ist. Ich weiß aber nicht mal, wo ich das einbringen soll.
Ist 1-ax für jedes [mm] x\in [/mm] R invertierbar, dann gibt es ein [mm] b\in [/mm] R: b(1-ax)=1. Was ich jetzt allerdings mit dem b weiter machen kann, weiß ich nicht, schließlich ist das eine Einheit, also mit Idealen siehts dann schlecht aus.
Wenn 1-ax eine Einheit ist, dann ist das in keinem maximalen Ideal enthalten.
Ich sehe es leider wirklich nicht, auch nicht, wie ich anfangen soll.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Mo 04.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Sei [mm]a\in[/mm] R. Zeigen Sie,
> dass a genau dann in jedem maximalen Ideal enthalten ist,
> wenn 1-ax für jedes [mm]x\in[/mm] R invertierbar ist.
> Hallo,
>
> ich sehe hier wirklich gar nichts. Man soll für den Beweis
> verwenden, dass jedes Ideal in einem maximalen Ideal
> enthalten ist. Ich weiß aber nicht mal, wo ich das
> einbringen soll.
>
> Ist 1-ax für jedes [mm]x\in[/mm] R invertierbar, dann gibt es ein
> [mm]b\in[/mm] R: b(1-ax)=1. Was ich jetzt allerdings mit dem b
> weiter machen kann, weiß ich nicht, schließlich ist das
> eine Einheit, also mit Idealen siehts dann schlecht aus.
>
> Wenn 1-ax eine Einheit ist, dann ist das in keinem
> maximalen Ideal enthalten.
Genau.
Sei $M$ ein maximales Ideal und angenommen, $1 - a x$ ist fuer jedes $a [mm] \in [/mm] R$ invertierbar. Schau dir jetzt die kanonische Projektion [mm] $\pi [/mm] : R [mm] \to [/mm] R/M =: K$ an. Dies ist ein Ringhomomorphismus.
In $K$ ist also $1 - b [mm] \pi(x)$ [/mm] fuer jedes $b [mm] \in [/mm] K$ invertierbar. (Da [mm] $\pi$ [/mm] surjektiv ist.) Das kann aber nur sein, wenn [mm] $\pi(x) [/mm] = 0$ ist (warum?). Daraus folgt, dass $x [mm] \in [/mm] M$ liegt (warum?).
Nun zur anderen Richtung. Sei $x$ in jedem maximalen Ideal enthalten, und sei $a [mm] \in [/mm] R$. Dann ist auch $a x$ in jedem maximalen Ideal enthalten. Du musst jetzt daraus folgern, dass $1 - a x$ invertierbar ist. Waere es das nicht, so waer $(1 - a x)$ ein echtes Ideal, womit es ein maximales Ideal $M$ gibt mit $(1 - a x) [mm] \subseteq [/mm] M$. Fuehre das jetzt zu einem Widerspruch (dazu, dass $a x [mm] \in [/mm] M$ ist).
LG Felix
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