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mehrdim. W-keit Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Mo 22.06.2020
Autor: inkeddude

Aufgabe
Sei [mm] $\alpha \in [/mm] (0, [mm] \infty)$ [/mm]  und sei $(X, Y)$ eine [mm] $\mathb{R}^{2}$ [/mm] - wertige Zufallsvariable mit (gemeinsamer) Dichte $f: [mm] \mathbb{R}^{2} \rightarrow [/mm] [0, [mm] \infty)$ [/mm] definiert durch

$f(x, y) := [mm] \begin{cases} \alpha^{2} e^{- \alpha y} & \text{falls}; 0 \le x \le y \\ 0 & \text{sonst} \\ \end{cases} [/mm] $

a) bestimme eine Dichte [mm] $f_{X}$ [/mm] von $X$ und eine Dichte [mm] $f_{Y}$ [/mm] von $Y$.

b) Bestimme $E(X)$, $Var(X)$, $E(Y)$ und $Var(Y)$.

c) Bestimme $Cov(X, Y)$ und den Korrelationskoeffizient [mm] $\varrho(X, [/mm] Y)$.
    Sind $X$ und $Y$ positiv korreliert ? Hängt [mm] $\varrho(X, [/mm] Y)$ von [mm] $\alpha$ [/mm] ab ?

Hinweis: $E(XY) = [mm] \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty}xy [/mm] f(x, y) dx dy$

Moin!

Ich habe Schwierigkeiten, die obige Aufgabe zu lösen, da ich noch mit mehrdimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen warm werden muss...

Da ich keine nützlichen Abschnitte oder Sätze im Skript finde oder sehe, habe ich leider keinen vernünftigen Ansatz, um zumindest die a) zu lösen.

Kann mir jemand netterweise ein paar Tipps zu a) geben ? Dann kann ich hoffentlich damit was anfangen.

Bedanke mich im Voraus!

        
Bezug
mehrdim. W-keit Funktionen: Zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Mo 22.06.2020
Autor: Infinit

Hallo inkeddude,
was Du da hast, ist doch eine Definition einer zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsdichte, die fast überall gleich Null ist, aber sie ist ungleich Null oberhalb der Winkelhalbierenden im ersten Quadranten.
Die Randdichten nach denen nun gefragt ist, bekommt man auf relativ einfache Art und Weise und zwar, indem man die zweidimensionale Dichte für die Randdichte [mm] f_x [/mm] über y integriert und für die Randdichte [mm] f_y [/mm]  über x.
[mm] f_x (x) = \int_0^{\infty} f(x,y) \, dy [/mm] und entsprechend
[mm] f_y (y) = \int_0^{\infty} f(x,y) \, dx [/mm]
Viel Spaß beim Rechnen wünscht
Infinit


Bezug
        
Bezug
mehrdim. W-keit Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:51 Di 23.06.2020
Autor: luis52

Moin, schau mal hier, ab Seite 153.


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