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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 Sa 21.08.2004 | | Autor: | magister |
hi
1.) Was ist der Schwerpunktk eines Dreiecks
Der Schwerpunkt eines Dreiecks bedeutet, dass das Dreieck im Gleichgewicht ist, das heisst, man könnte sich einen stab unter dem dreieck vorstellen, und das dreieck würde darauf gerade liegenbleiben
richtig ???
2.) Gib eine Gleichung des Umkreises für dreiecke an?
keine ahnung ??
3.) bestimme eine Gleichung der Ebene E in Normalenform
also das berechnen is klar, aber was unklar ist, ist das wort normalenform.
mir ist zwar klar, wenn das meine gleichung ist
a1x1 + a2x2 + a3x3 = c ist, dass der vektor (a1,a2,a3) auf die ebene normal steht.
aber es fehlt mir einfach ein kleiner touch um das komplett zu durchleuchten.
danke
lg magister
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Es ist nicht ganz klar, was du eigentlich willst. Suchst du allgemeingültige Formeln oder willst du diese Aufgaben in einem konkreten Beispiel lösen?
Zu 1.)
Sind [mm]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/mm] die Ortsvektoren der Eckpunkte [mm]A,B,C[/mm] eines Dreiecks, so gilt für den Ortsvektor [mm]\vec{s}[/mm] des Schwerpunktes S:
[mm]\vec{s}=\frac{1}{3}\left(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\right)[/mm]
Zu 2.)
Den Mittelpunkt [mm]M[/mm] des Umkreises erhältst du, indem du zwei Mittelsenkrechten des Dreiecks miteinander schneidest. Der Radius r ist der Abstand von M zu A (oder M zu B oder M zu C). Die Kreisgleichung ist dann, wenn [mm]\vec{m}[/mm] der Ortsvektor von [mm]M[/mm] ist:
[mm](\vec{x}-\vec{m})^2=r^2[/mm]
(Links steht das Skalarprodukt.)
Für [mm]\vec{m}[/mm] habe ich auch noch die folgende Formel gefunden:
[mm]\vec{m}=\frac{1}{2\Delta}\left((\vec{b}^{\,2}-\vec{c}^{\,2})\vec{a}^{\bot}+(\vec{c}^{\,2}-\vec{a}^{\,2})\vec{b}^{\bot}+(\vec{a}^{\,2}-\vec{b}^{\,2})\vec{c}^{\bot}\right)[/mm]
Hierbei ist [mm]\Delta=det\left(\vec{a},\vec{b}\right)+det\left(\vec{b},\vec{c}\right)+det\left(\vec{c},\vec{a}\right)[/mm] und [mm]\vec{x}^{\bot}=\begin{pmatrix}-\xi_2\\ \xi_1\end{pmatrix}[/mm] für [mm]\vec{x}=\begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\end{pmatrix}[/mm]
Aber falls du nur ein konkretes Beispiel berechnen sollst, vergiß das Letzte am besten gleich wieder.
Zu 3.)
Die Gleichung [mm]a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=c[/mm] ist die (skalare Form der) Normalenform.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Sa 21.08.2004 | | Autor: | magister |
dankeschön für deine hilfe
1.) wollte wissen, ob meine gedankliche interpretation des schwerpunktes konkret ist ?
2.) wollte eine gleichung des umkreises für dreiecke
3.) formel ist klar, ich möchte das verbal besser verstehen, bzw. mir exakt vorstellen was das bedeutet. zb normalenform , ebenengleichung in normalenform . warum normalenform, zweck ??
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Sa 21.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo magister,
> 1.) wollte wissen, ob meine gedankliche interpretation des
> schwerpunktes konkret ist ?
Ja, die ist korrekt, wenn du damit meinst, dass das Dreieck auf ein Stabende gelegt wird.
Man könnte auch sagen: Legt man den Schwerpunkt eines Dreiecks auf eine Nadelspitze, dann befindet er sich im Gleichgewicht.
> 2.) wollte eine gleichung des umkreises für dreiecke
Die kannst du jetzt aber doch einfach aus Leopold_Gasts Angaben herleiten.
Handelt es sich hier um ein Dreieck der Ebene oder im Raum?
In der Ebene könntest du auch einfach die Koordinaten der drei Eckpunkte in die allgeneine Kreisgleichung einsetzen und dann nach [mm] m_x, m_y [/mm] und r auflösen (sofern möglich):
[mm] (x-m_x)^2+(y-m_y)^2=r^2
[/mm]
> 3.) formel ist klar, ich möchte das verbal besser
> verstehen, bzw. mir exakt vorstellen was das bedeutet. zb
> normalenform , ebenengleichung in normalenform . warum
> normalenform, zweck ??
Die Überlegung, die hinter der Normalenform steckt, ist folgende:
Eine Ebene ist ja nicht nur durch folgende Angaben eindeutig bestimmt:
- Drei Punkte
- Ein Punkt, zwei Richtungen
sondern auch durch einen Punkt eine Richtung, wenn man zu der Richtung dazu sagt, dass diese senkrecht zur Ebene stehen soll.
Das kannst du dir wie einen Sonnenschirmständer vorstellen: Die Stange ist der Normalenvektor, die Bodenfläche die Ebene.
Durch Drehen der Stange erreichst du auf jeden Fall, dass die Bodenfläche parallel zu einer vorgegebenen Ebene verläuft -- wenn du nun noch forderst, dass die Bodenfläche durch einen Punkt der vorgegebenen Ebene verlaufen soll, so kannst du mit dem Sonnenschirmständer jede beliebige Ebene beschreiben.
Die Normalenform einer Ebene ist ja [mm] ($\vec [/mm] p$ und [mm] $\vec [/mm] n$ sind fest vorgegeben):
[mm] $\left( \vec x-\vec p\right)\*\vec [/mm] n=0$
Sprachlich umschrieben heißt das: Ein Punkt X liegt auf der Ebene, wenn die Verbindungsstrecke zu dem Punkt P [mm] ($=\vec x-\vec [/mm] p$) senkrecht zum Normalenvektor [mm] $\vec [/mm] n$ verläuft.
Durch Ausmultiplizieren der Normalengleichung ergibt sich die dir bereits bekannte Koordinantengleichung:
[mm] $\left( \vec x-\vec p\right)\*\vec [/mm] n=0$
[mm] $\gdw$ $\vec x\*\vec n-\vec p\*\vec [/mm] n=0$
[mm] $\gdw$ $\vec x\*\vec n=\vec p\*\vec [/mm] n$
[mm] $\gdw$ $x_1*n_1+x_2*n_2+x_3*n_3=\underbrace{p_1*n_1+p_2*n_2+p_3*n_3}_{\mbox{\scriptsize{konstant}}}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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