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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mi 24.10.2007 | | Autor: | sonne19 |
hallo!!
wir müssen folgende aufgabe lösen:
man finde das supremum und das infimum der menge:
E={ log ( [mm] \wurzel {(\bruch{3+2(3/7)^n}{(3/7)^n+1}} [/mm] ) | n= 0,1,2,3,....}
-----------------------------------------------------------------------------------------------
meine lösung:
Infimum:
für n=0
-> log ( [mm] \wurzel{5/2})
[/mm]
für n=1
-> log ( [mm] \wurzel{2,7})
[/mm]
-> log ( [mm] \wurzel{5/2} [/mm] ) < log ( [mm] \wurzel{2,7} [/mm] )
Ist log ( [mm] \wurzel{\bruch{3+2(3/7)^n}{(3/7)^n+1}}) [/mm] streng monoton steigend?
(jetzt führe ich eigentlich eine induktion durch um dies zu beweisen:)
f(n)<f(n+1)
also :
log ( [mm] \wurzel{ ( \bruch{3+2(3/7)^n}{(3/7)^n+1}} [/mm] < log ( [mm] \wurzel{\bruch{3+2(3/7)^(n+1)}{(3/7)^(n+1)+1}} [/mm] ))
soll bewiesen werden.
doch wie führe ich hier genau den beweis durch?
... nachdem das bewiesen ist gilt infE = log ( [mm] \wurzel{5/2}) [/mm]
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Supremum:
wie oben bewiesen ist die funktion streng monoton steigend. -> sei nähert sich einem grenzwert an
bestimmung des grenzwertes indem man n gegen unendlich laufen lässt ergibt:
lim (n-> [mm] \infty) [/mm] = log( [mm] \wurzel{3})
[/mm]
um dies zu beweisen muss man zeigen, dass [mm] (3/7)^n [/mm] gegen 0 geht für n gegen [mm] \infty [/mm] .
dies soll angeblich der beweis sein, den ich überhaupt nicht verstehe:
annahme: [mm] |a^n [/mm] -0 | < [mm] \varepsilon [/mm]
0<a<1
a' > k (k=1/ [mm] \varepsilon [/mm] )
a' >1
a'^n = [mm] 1/(a^n) [/mm] > 1
k:= 1/ [mm] \varepsilon [/mm]
a'^n [mm] =1/(a^n) [/mm] > k= 1/ [mm] \varepsilon [/mm]
-> [mm] 1/(a^n) [/mm] > 1/ [mm] \varepsilon
[/mm]
<-> [mm] a^m [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] |a^n [/mm] -a |< [mm] \varepsilon [/mm] q.e.d.
-> lim [mm] (7/3)^n [/mm] =o
warum das jetzt beweisen ist und was es überhaupt mit dem [mm] \varepsilon [/mm] auf sich hat verstehe ich nicht...ist es überhaupt notwendig das so durchzuführen?gibt es da keinen einfacheren weg??
also supE = log( [mm] \wurzel{3})
[/mm]
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so dies war also jetzt meine lösung und der andere teil der blau markiert ist war von einem bekannten.
meine fragen dazu:
-was ist bei meiner lösung richtig/falsch und was müsste noch genauer bzw besser ausgeführt werden?
- ist (das in blau) überhaupt nötig? falls ja, geht das auch anders?
danke und grüße
ps: die aufgabe ist als "schwer" eingestuft und man bekommt für sie auch ziemlich viele punkte. Deshalb kann ich mir auch irgendwie nicht vorstellen, dass mein gedankengang richtig ist, sondern die aufgabe irgend einen haken hat ?!?
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> hallo!!
> wir müssen folgende aufgabe lösen:
>
> man finde das supremum und das infimum der menge:
>
> E={ log (wurzel [mm] {(\bruch{3+2(3/7)^n}{(3/7)^n+1}} [/mm] ) | n= 0,1,2,3,....}
>
> -----------------------------------------------------------------------------------------------
EDITIERT:
Hallo,
solche Aufgaben funktionieren meist am besten, wenn man erstmal - wie auch immer - das Infimum bzw. Supremum sucht, und anschließend beweist, daß es wirklich eins ist.
Ich würde mir jetzt erstmal log ( [mm] \wurzel {\bruch{3+2(3/7)^n}{(3/7)^n+1}}) [/mm] etwas übersichtlicher aufschreiben.
Nach einigen Umformungen (Bruchrechnen, nichts Trickreiches) kommt man zu
log ( [mm] \wurzel {\bruch{3+2(3/7)^n}{(3/7)^n+1}}) [/mm] = log ( [mm] \wurzel {2+\bruch{1}{1+(3/7)^n}}).
[/mm]
Du siehst ja, daß der Ausdruck unter der Wurzel monoton wächst.
Der kleinste Wert, den man unter der Wurzel haben kann (und damit auch für den Gesamtausdruck) ist für n=0.
Der Bruch geht für [mm] n\to \infty [/mm] gegen 1, der Gesamtausdruck also gegen 3, und man ahnt doch schon ganz massiv, daß der Gesamtausdruck nie größer wird als log ( [mm] \wurzel [/mm] {3})
Was haben wir bisher erreicht? Wir haben jetzt jeweils eine nicht ganz aus der Luft gegriffene Vermutung, was das Infimum und Supremum dieser Menge ist.
Die ist nun zu beweisen.
A. Behauptung supE=log ( [mm] \wurzel{3}).
[/mm]
Zum Beweis mußt Du Dich nun darauf besinnen, was das Supremum einer Menge ist.
"Supremum" beinhaltet zweierlei: i) es ist eine obere Schranke
ii) es ist die kleinste obere Schranke.
(Überzeuge Dich davon daß Ihr sie auch so oder ähnlich def. habt.)
Entsprechend muß auch der Beweis ablaufen.
Zeige zuerst, daß Du eine obere Schranke gefunden hast.
Der schwierigere Teil ist meist, zu zeigen, daß man die kleinste obere Schranke gefunden hat.
Hierzu muß man oft annehmen, daß es eine kleinere obere Schranke S gibt, und dann zeigt man irgendwie, daß das zum Widerspruch führt. (Oft arbeitet man hier mit S:=(vermutetes [mm] Supremum)-\varepsilon. [/mm] Dieses S ist ja ein bißchen kleiner als das vermutete Supremum.)
B: Den Nachweis des Infimum mußt Du dann entsprechend angehen, er wird etwas einfacher sein.
Ich würde vorschlagen, daß Du nun nochmal frisch ansetzt, statt daß ich Deinen Lösungsversuch kommentiere.
Weil ich einenFehler mit nennenswerten Folgen gemacht habe, welchen ich inzwischen berichtigt habe, war ich der Meinung, daß bei Dir etwas grundverkehrt ist, was aber nicht der Fall ist.
ich schaue den Ansatz später nochmal an, wenn es inzwischen niemand anders tut.
Der Versuch des Kommiltonen kann schon deshalb nicht richtig sein, weil er [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{7}{3})^n=0 [/mm] herausbekommt. Das ist doch Quark! Das geht doch gegen [mm] \infty [/mm] !
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Do 25.10.2007 | | Autor: | Mathi87 |
Hallo,
Das klingt ja alles ganz logisch, aber warum steht nach der Umformung ganz zu Anfang unter dem Bruchstrich plötzlich 7/3 statt 3/7 ???
Bei mir kommen auch nach der Umformung 3/7 raus.
Danke
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> Hallo,
> Das klingt ja alles ganz logisch, aber warum steht nach
> der Umformung ganz zu Anfang unter dem Bruchstrich
> plötzlich 7/3 statt 3/7 ???
> Bei mir kommen auch nach der Umformung 3/7 raus.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das wäre natürlich eine echte Panne.
Rechne mal vor, was Du unter der Wurzel gerechnet hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Do 25.10.2007 | | Autor: | Mathi87 |
also ich lass jetzt mal log und wurzel weg und schreib nur den bruch
3+2(3/7)hoch n 2+2(3/7)hoch n 1
------------------------ = ------------------------ + -------------------- =
(3/7)hoch n +1 (3/7) hoch n +1 (3/7)hoch n +1
1
2+----------------------
(3/7)hoch n +1
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Hallo mathi!
Das sieht sehr gut aus!
Gruß vom
Roadrunner
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> hallo!!
> wir müssen folgende aufgabe lösen:
>
> man finde das supremum und das infimum der menge:
>
> E={ log ( [mm]\wurzel {(\bruch{3+2(3/7)^n}{(3/7)^n+1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
) | n=
> 0,1,2,3,....}
>
> -----------------------------------------------------------------------------------------------
>
> meine lösung:
>
> Infimum:
> für n=0
> -> log ( [mm]\wurzel{5/2})[/mm]
>
> für n=1
> -> log ( [mm]\wurzel{2,7})[/mm]
>
>
> -> log ( [mm]\wurzel{5/2}[/mm] ) < log ( [mm]\wurzel{2,7}[/mm] )
>
> Ist log ( [mm]\wurzel{\bruch{3+2(3/7)^n}{(3/7)^n+1}})[/mm] streng
> monoton steigend?
>
> (jetzt führe ich eigentlich eine induktion durch um dies zu
> beweisen:)
> f(n)<f(n+1)
> also :
> log ( [mm]\wurzel{ ( \bruch{3+2(3/7)^n}{(3/7)^n+1}}[/mm] < log (
> [mm]\wurzel{\bruch{3+2(3/7)^(n+1)}{(3/7)^(n+1)+1}}[/mm] ))
> soll bewiesen werden.
> doch wie führe ich hier genau den beweis durch?
Hallo,
Du vermutest also (richtig): infE = log ( [mm] \wurzel{5/2})
[/mm]
Wenn Du zeigen kannst, daß die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n:= [/mm] log ( [mm] \wurzel{\bruch{3+2(3/7)^n}{(3/7)^n+1}}) [/mm] monoton steigt, ist ja sofort klar, daß [mm] a_0 [/mm] eine untere Schranke der Folge und damit auch der Menge E ist.
Ich würde das gar nicht über Induktion beweisen.
Beachte, daß [mm] a_n:= [/mm] log ( [mm] \wurzel{\bruch{3+2(3/7)^n}{(3/7)^n+1}})= [/mm] log ( [mm] \wurzel{2+\bruch{1}{(3/7)^n+1}}) [/mm] gilt.
Es ist
[mm] (3/7)^n [/mm] > [mm] (3/7)^{n+1} [/mm]
==> [mm] (3/7)^n [/mm] +1> [mm] (3/7)^{n+1} [/mm] +1
[mm] ==>\bruch{1}{(3/7)^n +1}<\bruch{1}{(3/7)^{n+1} +1 }
[/mm]
[mm] ==>2+\bruch{1}{(3/7)^n +1}<2+\bruch{1}{(3/7)^{n+1} +1 }.
[/mm]
Ich gehe nun davon aus, daß Ihr die Montonie v. Wurzel und Log. bereits gezeigt habt.
Dann kannst Du Dich darauf berufen, und es folgt sofort [mm] a_{n}< a_{n+1}
[/mm]
Damit weißt Du, daß [mm] a_0 [/mm] untere Schranke ist.
Das Infimum ist aber die größte untere Schranke.
Kann es eine größere untere Schranke als [mm] a_0 [/mm] geben? Nein, die wäre ja größer als [mm] a_0, [/mm] also keine untere Schranke mehr.
>
>
> ... nachdem das bewiesen ist gilt infE = log (
> [mm]\wurzel{5/2})[/mm]
>
> -----------------------------------------------------------------------------------------------
>
> Supremum:
>
> wie oben bewiesen ist die funktion streng monoton steigend.
> -> sei nähert sich einem grenzwert an
Nein. Wenn sie streng monoton wachsend ist und nach oben beschränkt, hat sie einen Grenzwert.
Nur monoton wchsend reicht da nicht.
Zeige nun erstmal die Beschränktheit nach oben, daß also
[mm] a_n
Das kannst Du so ähnlich machen wir in dem Beweis für die untere Schranke,
es ist ja [mm] (3/7)^n [/mm] +1>1, und daraus folgt alles weitere.
Damit hast Du eine obere Schranke gefunden, eine gute sogar - im Stillen weißt Du ja, daß es der Grenzwert ist.
Für den weiteren Beweis würde ich ganz dicht an der Definition fürs Supremum bleiben.
Du mußt also noch zeigen, daß Du die kleinste obere Schranke gefunden hast.
Wie man das macht, hatte ich in meiner ersten Antwort schon geschrieben:
Nimm an, daß es Eine Schranke S gibt, welche kleiner ist als die gefundene, also S=log( [mm] \wurzel{3})-d [/mm] für ein d > 0.
Es gelte also log( [mm] \wurzel{3})-d [/mm] > log ( [mm] \wurzel{2+\bruch{1}{(3/7)^n+1}}) [/mm] für alle n
==> d< log( [mm] \wurzel{3})-log [/mm] ( [mm] \wurzel{2+\bruch{1}{(3/7)^n+1}}).
[/mm]
Nun kannst Du den Grenzwert hierdrauf loslassen und erhältst
[mm] d\le [/mm] log( [mm] \wurzel{3})- [/mm] log( [mm] \wurzel{3})=0, [/mm]
> um dies zu beweisen muss man zeigen, dass [mm](3/7)^n[/mm] gegen 0
> geht für n gegen [mm]\infty[/mm] .
Ja, das ist der wesentliche Punkt bei der Grenzwertbildung.
Aber ich gehe davon aus, daß Ihr längst im Verlauf der Vorlesung gezeigt habt, daß für 0<q<1 [mm] q^n [/mm] gegen 0 konvergiert, so daß Du Dich nur darauf berufen mußt.
Gruß v. Angela
>
>
>
> dies soll angeblich der beweis sein, den ich überhaupt
> nicht verstehe:
> annahme: [mm]|a^n[/mm] -0 | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> 0<a<1
>
> a' > k (k=1/ [mm]\varepsilon[/mm] )
> a' >1
>
> a'^n = [mm]1/(a^n)[/mm] > 1
> k:= 1/ [mm]\varepsilon[/mm]
> a'^n [mm]=1/(a^n)[/mm] > k= 1/ [mm]\varepsilon[/mm]
>
> -> [mm]1/(a^n)[/mm] > 1/ [mm]\varepsilon[/mm]
>
> <-> [mm]a^m[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]|a^n[/mm] -a |< [mm]\varepsilon[/mm] q.e.d.
>
>
> -> lim [mm](7/3)^n[/mm] =o
>
>
>
> warum das jetzt beweisen ist und was es überhaupt mit dem
> [mm]\varepsilon[/mm] auf sich hat verstehe ich nicht...ist es
> überhaupt notwendig das so durchzuführen?gibt es da keinen
> einfacheren weg??
>
>
>
> also supE = log( [mm]\wurzel{3})[/mm]
>
>
>
> ----------------------------------------------------------------------------------------------
>
> so dies war also jetzt meine lösung und der andere teil der
> blau markiert ist war von einem bekannten.
>
> meine fragen dazu:
>
> -was ist bei meiner lösung richtig/falsch und was müsste
> noch genauer bzw besser ausgeführt werden?
>
> - ist (das in blau) überhaupt nötig? falls ja, geht das
> auch anders?
>
> danke und grüße
>
> ps: die aufgabe ist als "schwer" eingestuft und man bekommt
> für sie auch ziemlich viele punkte. Deshalb kann ich mir
> auch irgendwie nicht vorstellen, dass mein gedankengang
> richtig ist, sondern die aufgabe irgend einen haken hat
> ?!?
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