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Hallo, kann mir jemand bei der Erläuterung von Häufungspunkten behilflich sein?
M ist Teilmenge von X und x0 ist Häufungspunkt von M wenn in jeder Kugel von x0 ein Punkt x1 leigt der ungleich x0 ist.
Beim Intervall [0,3] sind da alle Elemte des Intervalls Häufungspunkte?
Warum ist bei der Menge {1, 1/2, 1/3,...} 0 ein Häufungspunkt?
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Hallo michelangelo,
Ich werde das zweite Beispiel ausführlich erläutern. Du solltest dann auch mit dem Intervall [0,3] keine Probleme haben.
Wenn Du Dir die Zahlen auf der Zahlengeraden markierst, wirst Du vermutlich auch schon klarer sehen. In der Umgebung von 0 häufen sich die Punkte.
Formal zeigt man das so:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Betrachte [mm] $B_\varepsilon(0)$ [/mm] (Die Kugel mit Radius [mm] $\varepsilon$ [/mm] um 0.) Da [mm] $\IR$ [/mm] archimedisch ist, gibt es ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $m*\varepsilon [/mm] > 1$.
Also: [mm] $\bruch{1}{m} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
D.h.: 1/m ist in dieser Kugel enthalten. Da [mm] $\varepsilon$ [/mm] beliebig, ist in jeder Kugel um 0 ein 1/m enthalten, und 0 ein Häufungspunkt dieser Menge.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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Danke erstmal. Heisst das dann auch, dass 1 ein Häufungspunkt wäre, da auch in jeder Kugel um 1 ein 1/m enthalten wäre?
Genauso bei dem Intervall [0,3] wäre dort jeder Punkt ein Häufungspunkt? denn ich kann ja eine Umgebung um jeden Punkt definieren und würde dann einen beliebigen weiteren Punkt in dieser Umgebung finden. Das heißt wenn ich mich im Bereich der natürlichen Zahlen befinde wäre 0 und 3 kein Häufungspunkt mehr oder?!
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> Danke erstmal. Heisst das dann auch, dass 1 ein
> Häufungspunkt wäre, da auch in jeder Kugel um 1 ein 1/m
> enthalten wäre?
Nein, 1 ist kein Häufunsgspunkt. Sei [mm] $\varepsilon [/mm] < 1/2$. Dann enthält [mm] $B_\varepsilon [/mm] (1)$ keine weiteren Elemente dieser Menge. Wäre 1 ein Häufungspunkt, so müsste das aber der Fall sein. Ebenso ist kein 1/n ein Häufungspunkt der Menge, was man leicht erkennt, wenn man die Radien der Kugeln kleiner als 1/(n+1) macht.
> Genauso bei dem Intervall [0,3] wäre dort jeder Punkt ein
> Häufungspunkt? denn ich kann ja eine Umgebung um jeden
> Punkt definieren und würde dann einen beliebigen weiteren
> Punkt in dieser Umgebung finden. Das heißt wenn ich mich im
> Bereich der natürlichen Zahlen befinde wäre 0 und 3 kein
> Häufungspunkt mehr oder?!
Wenn $[0,3] [mm] \subseteq \IR$, [/mm] dann ist jeder Punkt im Intervall ein Häufungspunkt. Denn:
Sei x ein beliebiger Punkt im Intervall. Sei [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ beliebig. Dann ist [mm] $B_\varepsilon [/mm] (x)$ = [mm] $]x-\varepsilon [/mm] , [mm] x+\varepsilon[$ [/mm] Der Schnitt dieser beiden Intervalle enthält IMMER von x verschiedene Elemente. Da [mm] $\varepsilon$ [/mm] beliebig, ist x Häufungspunkt.
Also ist jedes $x [mm] \in [/mm] [0,3]$ Häufungspunkt des Intervalls.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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