mengenwertige Funktionen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:39 So 18.05.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | X sei ein Hilbertraum. Zeige:
Ein Operator T: X [mm] \rightarrow [/mm] X ist sicher nicht expansiv genau dann wenn T die Resolvente eines monotonen Operators F: X [mm] \rightarrow 2^X [/mm] ist (F ist also eine mengenwertige Funktion). |
Guten Morgen,
ich hab noch ein paar Fragen 
Also dass T sicher nicht expansiv ist, bedeutet ja:
[mm] \| [/mm] Tx - Ty [mm] \|^2 \leq [/mm] <x-y, Tx-Ty> [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X.
Dass T die Resolvente von F ist bedeutet: T = [mm] (I+F)^{-1} [/mm] und dass F monoton ist:
[mm]
Für die Hinrichtung habe ich nun so angefangen:
T sei sicher nicht expansiv, dann folgt:
0 [mm] \leq \|(I+F)^{-1} [/mm] x - [mm] (I+F)^{-1} [/mm] y [mm] \| \leq [/mm] <x-y, [mm] (I+F)^{-1} [/mm] x - [mm] (I+F)^{-1} [/mm] y >
Wie bekomme ich nun in dem hinteren Argument etwas, dass diese monoton Bedingung erfüllt ist ?
[mm] (I+F)^{-1} [/mm] x [mm] \in [/mm] F(x) gilt ja wohl nicht, oder?
Oder wie kann man das noch auseinandernehmen?
Freu mich über alle Denkanstöße und Hinweise! ;)
Viele Grüße,
Riley
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 21:46 Di 20.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich habe in einem Paper von J. Eckstein einen kleinen Ansatz gefunden, allerdings ist mir das noch nicht so ganz klar (leider sind dort die Notationen auch total anders). Also es geht darum diese Äquivalenz zu zeigen:
(i) [mm] \|Tx [/mm] - Ty [mm] \|^2 [/mm] <= <x-y,Tx-Ty> [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X (X ist ein Hilbertraum und T also streng nicht-expansiv)
(ii) [mm] T=J_F [/mm] = (I+F)^(-1) für einen monotonen Operator F: X -> [mm] 2^X [/mm] (ist also mengenwertig).
Anscheinend kann man nun die Rückrichtung beweisen, in dem man zeigt, dass F monoton ist genau dann wenn [mm] J_F [/mm] strikt nicht expansiv ist.
F monoton bedeutet ja wie gehabt:
< [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2, y_1 [/mm] - [mm] y_2> \geq [/mm] 0 [mm] \forall y_1 \in F(x_1), y_2 \in F(x_2).
[/mm]
Wenn man nun auf beiden Seiten [mm] \|x_1 [/mm] - [mm] x_2 \|^2 [/mm] addiert, kommt man zu
< [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2, y_1 [/mm] - [mm] y_2, x_1 [/mm] - [mm] x_2> \geq \| x_1 [/mm] - [mm] x_2 \|^2 \forall y_1 \in F(x_1), y_2 \in F(x_2).
[/mm]
Warum ist das nun äquivalent dazu, dass [mm] J_F [/mm] = [mm] (I+F)^{-1} [/mm] strikt nicht expansiv ist? Das würde ja bedeutet, dass gilt:
[mm] \| (I+F)^{-1} [/mm] x - [mm] (I+F)^{-1} [/mm] y [mm] \|^2 \geq [/mm] <x-y, [mm] (I+F)^{-1}x [/mm] - [mm] (I+F)^{-1} [/mm] y > ... ??
Wär super, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte!!
Viele Grüße,
Riley
PS: und bringt es etwas für die Hinrichtung [mm] T=(I+F)^{-1} [/mm] nach F aufzulösen, damit man vielleicht sieht wie man F wählen muss, also angenommen T ist invertierbar....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 24.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 23.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
