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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Sa 26.01.2008 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich habe ein großes Problem mit dieser Aufgabe:
Sei [mm] (M,\mathcal{A},P) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum, [mm] Y_{n} [/mm] (für n [mm] \in\IN) [/mm] und Y reellwertige messbare Funktionen auf M. Betrachte die Menge K={ [mm] m\in [/mm] M: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}Y_{n}(m)=Y(m) [/mm] }. Zeige, dass [mm] K\in \mathcal{A} [/mm] ist.
Mir ist nicht klar, wie ich an diese Aufgabe rangehen muss, und was die einzelnen Schritte wären, die man dafür beweisen muss.
Vielleicht könnte mir jemand von euch weiterhelfen???
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> Hallo!
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> Ich habe ein großes Problem mit dieser Aufgabe:
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> Sei [mm](M,\mathcal{A},P)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum, [mm]Y_{n}[/mm]
> (für [mm]n \in\IN)[/mm] und Y reellwertige messbare Funktionen auf
> M. Betrachte die Menge [mm]K=\{m\in M:
\limes_{n\rightarrow\infty}Y_{n}(m)=Y(m)\}[/mm]. Zeige, dass
> [mm]K\in \mathcal{A}[/mm] ist.
>
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> Mir ist nicht klar, wie ich an diese Aufgabe rangehen muss,
> und was die einzelnen Schritte wären, die man dafür
> beweisen muss.
> Vielleicht könnte mir jemand von euch weiterhelfen???
Ich würde die Menge fragliche $K$ zunächst in der Form
[mm]K=\{m\in M\mid \liminf_{n\rightarrow \infty} Y_n(m)\leq Y(m) \text{ und } Y(m)\leq \limsup_{n\rightarrow \infty} Y_n(m)\}[/mm]
schreiben. Die "und" Bedingung kannst man dann als Durchschnitt von Mengen auffassen
[mm]K=\{m\in M\mid \liminf_{n\rightarrow \infty} Y_n(m)\leq Y(m)\}\;\cap\;\{m\in M\mid Y(m)\leq \limsup_{n\rightarrow \infty} Y_n(m)\}[/mm]
Dann würde ich versuchen, diese beiden Mengen mit Hilfe abzählbarer Durchschnitte und Vereinigungen zu schreiben. Etwa
[mm]\{m\in M\mid \limsup_{n\rightarrow \infty} Y_n(m)\leq Y(m)\}=\bigcap_{n\in \IN}\bigcup_{k\geq n}\{m\in M\mid Y_k(m)\leq Y(m)\}[/mm]
(analog für den [mm] $\liminf_{n\rightarrow\infty}\ldots$).
[/mm]
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:34 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Ich würde die Menge fragliche [mm]K[/mm] zunächst in der Form
>
> [mm]K=\{m\in M\mid \liminf_{n\rightarrow \infty} Y_n(m)\leq Y(m) \text{ und } Y(m)\leq \limsup_{n\rightarrow \infty} Y_n(m)\}[/mm]
Andersrum:
[mm]K=\{m\in M\mid \liminf_{n\rightarrow \infty} Y_n(m)\geq Y(m) \text{ und } Y(m)\geq \limsup_{n\rightarrow \infty} Y_n(m)\}[/mm]
Sonst muß [mm] $Y_n(m)$ [/mm] ja nicht konvergieren.
Und der Übergang zu Mengen funktioniert so auch nicht.
> $ [mm] \{m\in M\mid \limsup_{n\rightarrow \infty} Y_n(m)\leq Y(m)\}=\bigcap_{n\in \IN}\bigcup_{k\geq n}\{m\in M\mid Y_k(m)\leq Y(m)\} [/mm] $
Bsp: für [mm] $Y_n(m)=\frac{1}{n}$ [/mm] und Y(m)=0 hätten wir:
$ [mm] \{m\in M\mid \limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\leq 0\}=\bigcap_{n\in \IN}\bigcup_{k\geq n}\{m\in M\mid \frac{1}{k}\leq 0\} [/mm] $
Dabei ist die linke Menge natürlich M und die rechte [mm] $\emptyset$
[/mm]
Also:
[mm] $\{m\in M;\ \lim_{n\to \infty} Y_n(m)
Wegen dem strikten < stimmt jetzt die Grundüberlegung, daß es ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] geben muß, so daß [mm] $Y_n(m)
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 16:57 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Somebody |
> > Ich würde die Menge fragliche [mm]K[/mm] zunächst in der Form
> >
> > [mm]K=\{m\in M\mid \liminf_{n\rightarrow \infty} Y_n(m)\leq Y(m) \text{ und } Y(m)\leq \limsup_{n\rightarrow \infty} Y_n(m)\}[/mm]
>
> Andersrum:
> [mm]K=\{m\in M\mid \liminf_{n\rightarrow \infty} Y_n(m)\geq Y(m) \text{ und } Y(m)\geq \limsup_{n\rightarrow \infty} Y_n(m)\}[/mm]
>
> Sonst muß [mm]Y_n(m)[/mm] ja nicht konvergieren
Stimmt, weil ja bei meiner Bedingung [mm] $Y_n(m)$ [/mm] in einer möglicherweise riesigen Lücke zwischen [mm] $\liminf_{n\rightarrow \infty}Y_n(m)$ [/mm] und [mm] $\limsup_{n\rightarrow \infty}Y_n(m)$ [/mm] frei herumschwimmen könnte.
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