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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 So 17.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, an alle!
Ich habe hier eine aufgabe, bei der ich mir nicht wirklich sicher bin, ob meine überlegungen stimmen. Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
Vielen dank!
Aufgabe:
Alle Eisenbahnlinien schneiden sich in genau einem Punkt P. Um von einem Ort A zu einem Ort B per Eisenbahn zu gelangen, gibt es also zwei Möglichkeiten:
Entweder die Orte liegen an der gleichen Strecke, dann kann direkt gefahren werden, oder man muss in P umsteigen.
Zeige, dass der bei einer Eisenbahnfahrt zurückgelegte Abstand d (oder auch die benötigte Zeit t) eine Metrik auf der Menge der an das Schienennetz angebundenen Orte definiert.
Meine Überlegungen:
"Menge der an das Schienennetz angebundenen Orte": Bedeutet das soviel wie M:= (A, B, ...), wobei A, B die Orte sind?
Ich weiß, wenn ich zeigen soll, dass d eine Metrik ist, muss ich folgende Punkte zeigen:
(1) für alle A,B [mm] \in [/mm] M: d(A,B) [mm] \ge [/mm] 0
(2) für alle A,B [mm] \in [/mm] M: d(A,B) = d(B,A)
(3) für alle A,B,C [mm] \in [/mm] M: d(A,C) [mm] \ge [/mm] d(A,B) + d(B,C)
(4) für allle A [mm] \in [/mm] M: d(A,A) = 0
(5) für alle [mm] A,B\in [/mm] M: d(A,B) = 0 [mm] \gdw [/mm] A = B
Nun gibt es doch 2 Möglichkeiten, um von einem Ort A zu einem B zu kommen: entweder direkt oder duch Umstieg in P.
(*) Nun kann ich d doch so definieren: d(A,B) = |A-B| wenn A und B an der gleichen Strecke liegen.
Und wenn B von A aus nicht direkt erreichbar ist, also nur durch Umsteigen in P, kann ich doch d so definieren:
d(A,B) = d(A,P) + d(P,B) wobei d(A,P) = |A-P| und d(P,B) = |P-B|
Stimmen meine Überlegungen bis hierhin? wenn ja, dann weiß ich aber nicht genau, wie ich beide Möglichkeiten in einen Ansatz reinbringen kann.
Wenn ich es in 2 Fälle aufspalte, dann geht es, aber wie kann ich beide Fälle zu einem einzigen Fall machen?
Ich hoffe, ihr versteht mein Problem.
Wenn meine Überlegungen richtig sind, dann dürfte es nicht allzu schwierig sein, die 5 Punkte zu beweisen.
Könnt ihr mir bitte vorher sagen, ob es richtig ist, was ich da oben geschrieben habe?
Danke!
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Hallo,
zunächst erstmal ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]") : Ich finde keinen Fehler in Deinen Überlegungen, auch wenn ich die Schreibweise mit den Betragsstrichen überflüssig bis irreführend finde (was, wenn die Strecke Kurven hat?). Bleib doch einfach bei $d(A,B)$.
Leider fürchte ich, dass Du (außer bei (4) natürlich) die Fallunterscheidung "mitschleppen" mußt. Aber etwas knifflig könnte das höchstens beim Nachweis der Dreiecksungleichung (3) werden.
Kopf hoch und durch 
Peter
P.S. Müsste $d(A,B)$ nicht als kürzeste aller möglichen Bahnfarten von A nach B definiert sein? Denn sonst hindert Dich doch niemand von A über Pattensen, Peine, Paris nach A zu fahren, was $d(A,A)$ wesentlich gößer als 0 machen würde...![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Di 19.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Peter!
Danke für deine Antwort!
Ich habe so gehofft, dass ich beide fälle unter ein dach bringen könnte. aber egal!
Soweit ich weiß, ist der Abstand als die kürzeste Verbindung zweier Punkte definiert. D.h. doch, es kann keine Kurven geben, oder?
Hier mein Ansatz. Ich habe halt die 5 Punkte nachgewiesen, für jeden der beiden Fälle. Es war meistens relativ einfach, aber bei einigen Punkten bin ich mir unsicher, darum poste ich hier nochmal einige Punkte:
1. Fall: A und B liegen auf einer Linie, d.h. B kann von A aus direkt erreicht werden. --> d(A,B) = |A-B|
2. Fall: B kann von A aus nur über Zwischenstopp in P erreicht werden.
--> d(A,B) = d(A,P) + d(P,B) = |A-P| + |P-B|
1. Fall:
(1) Für alle A, B [mm] \in [/mm] M: d(A,B) [mm] \ge [/mm] 0.
- Sei A=B. Dann gilt: d(A,B) = d(A,A) = |A-A| = 0
- Sei [mm] A\not=B. [/mm] Dann gilt: d(A,B) = |A-B| > 0.
Also ist d(A,B) insgesamt größer gleich 0.
Soviel zum 1. Fall. Die anderen Punkte waren "trivial".
2. Fall:
(1) Für alle A, B [mm] \in [/mm] M: d(A,B) [mm] \ge [/mm] 0.
Falls A=B=P gilt: d(A,B) = 0.
Falls A=P und [mm] P\not=B [/mm] (bzw. B=P und [mm] A\not=B) [/mm] oder [mm] A\not=B\not=P, [/mm] dann gilt: d(A,B) > 0.
Also ist d(A,B) insgesamt größer gleich 0.
(3)Für alle A,B,C [mm] \in [/mm] M: d(A,C) [mm] \le [/mm] d(A,B) + d(B,C)
d(A,B) = d(A,P) + d(P,B) = |A-P| + |P-B|
= |A-B+B-P| + |P-B+B-C|
[mm] \le [/mm] |A-B| + [mm] \underbrace{|B-P| + |P-B|}_{=d(B,B)=0} [/mm] + |B-C|
= |A-B| + |B-C|
= |A-P+P-B| + |B-P+P-C|
[mm] \le [/mm] |A-P| + |P-B| + |B-P| + |P-C|
= d(A,B) + d(B,C)
(5) Für alle A,B [mm] \in [/mm] M: d(A,B) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] A=B
d(A,B) = d(A,P) + d(P,B) = |A-P| + |P-B| = 0
gdw. |A-P| = 0 und |P-B| = 0
gdw. A=P und P=B,
also gdw. A=B.
So, das sind diejenigen Punkte, bei denen ich mir noch unsicher bin, ob die so stimmen. Die restlichen Punkte dürfte ich eigentlich geschafft haben.
Könnt ihr mir bitte sagen, ob alles so stimmt? Vielen Dank!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:54 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo VHN!
> (3)Für alle A,B,C [mm]\in[/mm] M: d(A,C) [mm]\le[/mm] d(A,B) + d(B,C)
> d(A,B) = d(A,P) + d(P,B) = |A-P| + |P-B|
> = |A-B+B-P| + |P-B+B-C|
> [mm]\le[/mm] |A-B| + [mm]\underbrace{|B-P| + |P-B|}_{=d(B,B)=0}[/mm] +
> |B-C|
> = |A-B| + |B-C|
> = |A-P+P-B| + |B-P+P-C|
> [mm]\le[/mm] |A-P| + |P-B| + |B-P| + |P-C|
> = d(A,B) + d(B,C)
Also, das ist völlig falsch. Erstens müsstest du mit $d(A,C)$ anfangen. Und zweitens ist $|B-P| + |P-B| [mm] \ne [/mm] d(B,B)$. Denn es gilt: $d(B,B)=|B-B|=0$ und nicht $d(B,B)=|B-P|+|P-B|$. Schließlich muss ich, um von $B$ nach $B$ zu kommen, nicht über $P$ fahren. Das ist ein Trugschluss, dem du da unterliegst.
Eigentlich ist die Dreiecksungleichung trivial. Im Falle $d(A,C)=|C-A|$ ist nichts zu zeigen, da im Falle $d(A,B)=|B-A|$ und $d(B,C)=|C-B|$ die Behauptung aus der gewöhnlichen Dreiecksungleichung folgt und in anderen Konstellationen der Ausdruck $d(A,B) + d(B,C)$, wiederum durch die gewöhnliche Dreiecksungleichung, durch mindestens einen Umweg über $P$ maximal größer (und keinesfalls kleiner) wird.
Zu untersuchen bleibt der Fall $d(A,C) = |P-A| + |C-P|$. Im Falle $d(A,B)=|B-A|$ und $d(B,C) = |P-B| +|C-P|$ folgt mit der gewöhnlichen Dreiecksungleichung:
$d(A,C) = |P-A| + |C-P| [mm] \le [/mm] |B-A| + |P-B| + |C-P| = d(A,B) + d(B,C)$.
Der Fall $d(A,B) = |P-A| + |C-P|$ und $d(B,C)= |C-B|$ ist analog zu behandeln.
Und (und das ist der Clou an der Aufgabe, denke ich) der Fall $d(A,C) = |P-A| + |C-P|$, $d(A,B)=|B-A|$ und $d(B,C)=|C-B|$ kann schlicht nicht eintreten!!! Denn wenn ich nicht über $P$ fahren muss, um von $A$ nach $B$ und von $B$ nach $C$ zu gelangen, dann muss ich auch nicht über $P$ fahren, um von $A$ nach $C$ zu gelangen (denn ich kann ja über $B$ fahren).
Der Rest scheint mir okay.
Viele Grüße
Stefan
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