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| Aufgabe | (a)
Zeigen Sie , dass die Menge [mm] \{(x, sin (1/X)) | x > 0 \} \cup (\{ 0 \} [/mm] x [mm] \IR) \subset \IR^2 [/mm] zusammnhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist.
(b)
Sei [mm] (A_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge nichtleerer abgeschlossener Teilmengen in einem kompakten metrischen Taum (X,d) mit [mm] A_{n+1} \subset A_n, \forall [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \bigcap_{n=0}^{\infty} A_n \not= \emptyset [/mm] |
Hallo.
Leider habe ich keine Idee für diese Aufgaben. Ich hoffe, dass mir jemand einen Ansatz geben könnte. Danke
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 So 04.06.2006 | | Autor: | SEcki |
> Leider habe ich keine Idee für diese Aufgaben. Ich hoffe,
> dass mir jemand einen Ansatz geben könnte. Danke
zu a): es sind zwei wegzusammenhängende Abschnitte (warum?), also reicht es zu zeigen, dass der Raum nicht disjunkt in diese beiden Mengen zerlegt werden kann. Jetzt nimm dir einen Punkt auf der y-Geraden, und eine Umgebung in [m]\R^2[/m]. Nicht wegzush.: Führe das zur Unstetigkeit einer Funktion zum Widerspruch.
zu b): die Mengen sind kompakt, jetzt wähle geschickt eine Folge, die konvergiert und deren Grenzwert in allen Mengen liegt.
SEcki
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