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Forum "Uni-Analysis" - metrischer Vektorraum
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metrischer Vektorraum: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 Di 16.05.2006
Autor: Eumel09

Aufgabe
Sei (X,d) ein metrischer Vektorraum über [mm] \IR. [/mm] Die Metrik heißt translationsinvariant, falls d(x-z,y-z) = d(x,y) für alle x,y,z [mm] \in [/mm] X ist.
Sie heißt homogen, falls d( [mm] \alpha [/mm] x, [mm] \alpha [/mm] y) =  [mm] |\alpha| [/mm] d(x,y) für alle x,y [mm] \in [/mm] X und für alle [mm] \alpha \in \IR [/mm] gilt.
Zeigen sie:

1. Ist X ein normierter Vektorraum und d die von der Norm auf X induzierte Metrik, so ist d translationsinvariant und homogen.

2. Ist d translationsinvariant und homogen, so gibt es eine Norm auf X, die d induziert.

3. Ist die diskrete Metrik auf X [mm] \not= [/mm] {0} von einer Norm induziert?

hallo ,

mit dieser Aufgabe komme ich nicht zurecht. Kann ich bei 1. die  Translationsinvarianz folgendermaßen zeigen:

d(x-z,y-z) = |(x-z) - (y-z)| = |x-y| = d(x,y)

Ist das richtig oder habe ich was nicht beachtet. Und was genau soll man bei 2. zeigen?

danke für jede Hilfe



        
Bezug
metrischer Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Di 16.05.2006
Autor: choosy


> Sei (X,d) ein metrischer Vektorraum über [mm]\IR.[/mm] Die Metrik
> heißt translationsinvariant, falls d(x-z,y-z) = d(x,y) für
> alle x,y,z [mm]\in[/mm] X ist.
>  Sie heißt homogen, falls d( [mm]\alpha[/mm] x, [mm]\alpha[/mm] y) =  
> [mm]|\alpha|[/mm] d(x,y) für alle x,y [mm]\in[/mm] X und für alle [mm]\alpha \in \IR[/mm]
> gilt.
>  Zeigen sie:
>  
> 1. Ist X ein normierter Vektorraum und d die von der Norm
> auf X induzierte Metrik, so ist d translationsinvariant und
> homogen.
>  
> 2. Ist d translationsinvariant und homogen, so gibt es eine
> Norm auf X, die d induziert.
>  
> 3. Ist die diskrete Metrik auf X [mm]\not=[/mm] {0} von einer Norm
> induziert?
>  hallo ,
>  
> mit dieser Aufgabe komme ich nicht zurecht. Kann ich bei 1.
> die  Translationsinvarianz folgendermaßen zeigen:
>  
> d(x-z,y-z) = |(x-z) - (y-z)| = |x-y| = d(x,y)

ja, die homogenität geht genauso....

>  
> Ist das richtig oder habe ich was nicht beachtet. Und was
> genau soll man bei 2. zeigen?

prinzipiell zeige einfach das durch

[mm] $\|x\|:=d(0,x)$ [/mm]

eine Norm definiert wird (eigenschaften nachrechnen)


bei teil 3 gehts bei der homogenität schief....

>  
> danke für jede Hilfe
>  
>  


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