minimale Ellipse über Rechteck. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 Di 03.08.2004 | | Autor: | ratz |
Hallo,
ich hätte da mal ne Frage zu einem Minimal Problem:
Und zwar hab ich ein vorgegebenes Rechteck mit den zwei längen a und b und möchte jetzt in die Ecken eine Ellipse legen. Da gibt s soweit ja viele Möglichkeiten. Kann man irgendwie die kleinste ellipse berechnen die das Rechteck vorgibt ?
[Dateianhang nicht öffentlich]
so ungefähr sieht das wohl aus.
lg steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Di 03.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Steffi.
Seien [mm]b,h\in\IR[/mm] die Seitenlängen des Rechteckes und o.B.d.A. der Mittelpunkt von Ellipse und Rechteck der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems. Das Weiteren seien [mm]a,b\in\IR[/mm] Haupt- bzw. Nebenachse der Ellipse.
Wir wollen nun eine Funktion finden, welche aus der Nebenachse als Veränderliche den Flächeninhalt der Ellipse zurückgibt. Diese Funktion sei [mm]A(b)[/mm].
Die elliptische Gleichung lautet bekanntlich [mm]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/mm] - [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] bezeichnen hier die halben Seitenlängen des Rechteckes, [mm]a,b[/mm] die Haupt- bzw. Nebenachse. Da die Nebenachse [mm]b[/mm] als Veränderliche der Funktion übergeben wird, können wir [mm]a[/mm] als einzige Unbekannte errechnen:
[mm]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/mm]
[mm]\gdw \frac{x^2}{a^2}=1-\frac{y^2}{b^2}[/mm]
[mm]\gdw \sqrt{\frac{x^2}{1-\frac{y^2}{b^2}}}=a[/mm]
Daher gilt für die Funktion [mm]A(b)[/mm] (als Folgerung der Flächenfunktion [mm]A=\pi\cdot a\cdot b[/mm] der Ellipse):
[mm]A(b)=\pi\cdot\sqrt{\frac{x^2}{1-\frac{y^2}{b^2}}}\cdot b[/mm]
Bevor wir diese ableiten, vereinfachen wir den Wurzelausdruck noch ein wenig:
[mm]= \sqrt{\frac{x^2}{1-\frac{y^2}{b^2}}}[/mm]
[mm]= \sqrt{\frac{x^2}{\frac{b^2}{b^2}-\frac{y^2}{b^2}}}[/mm]
[mm]= \sqrt{\frac{x^2}{\frac{b^2-y^2}{b^2}}}[/mm]
[mm]= \sqrt{\frac{b^2\cdot x^2}{b^2-y^2}}[/mm]
[mm]= x\cdot b\cdot(b^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}[/mm]
Daraus folgt die weniger komplexe Darstellung für [mm]A(b)[/mm]:
[mm]A(b)=\pi\cdot x\cdot b^2\cdot (b^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}[/mm]
Nun leiten wir ab:
[mm]A'(b)=\frac{d}{db}\left(\pi\cdot x\cdot b^2\cdot (b^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}\right)=\pi\cdot x\cdot \left(2b(b^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}+b^2\cdot (-b(b^2-y^2)^{-\frac{3}{2}}))\right)[/mm]
[mm]=\pi\cdot x\cdot\left(2b(b^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}-b^3\cdot(b^2-y^2)^{-\frac{3}{2}}\right)[/mm]
Zum Berechnen der Extrema setzen wir die Ableitung gleich Null:
[mm]A'(b)=\pi\cdot x\cdot\left(2b(b^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}-b^3\cdot(b^2-y^2)^{-\frac{3}{2}}\right)=0[/mm]
[mm]\gdw 2(b^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}-b^2\cdot(b^2-y^2)^{-\frac{3}{2}}=0[/mm]
[mm]\gdw 2-\frac{b^2}{b^2-y^2}=0[/mm]
[mm]\gdw 2b^2-2y^2-b^2=0[/mm]
[mm]\gdw b^2-2y^2=0[/mm]
[mm]\gdw b=\pm\sqrt{2}\cdot y[/mm]
Ich möchte hier erstmal pausieren und euch schauen lassen, denn falls ein Fehler in dieser Rechnung ist, muss ich ja nicht mehr weiterrechnen. Soweit müsste es mmN allerdings stimmen.
Also, erst Kontrolle bis hierhin 
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Di 03.08.2004 | | Autor: | ratz |
ok, soweit verstanden und ich hab s auch nachgerechnet, ich denke mal das stimmt soweit.
jetzt hab ich also mein b für die ellipse,
damit hab ich ja dann auch a. Ist das dann schon die Lösung ?
ich setze dieses b und das dazugehörige a in meine Ellipsengleichung ein und dann hab ich die minimale ellipse ?
lg steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Di 03.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Steffi.
Ja, das ist so richtig. Bedenke allerdings, dass mit y nur die halbe Seitenlänge gemeint ist. Das Extrema muss das Minimum sein, da man b ja nach belieben vergrößern und somit einen beliebig großen Flächeninhalt erzeugen kann.
Dann wär die Aufgabe gelöst 
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Di 03.08.2004 | | Autor: | ratz |
ok. nochmal für mich zum verständnis:
ich hab ein Rechteck mit länge 6 und höhe 4
wenn ich jetzt die minimale Ellipse hierfür möchte berechne ich
aus der gleichung
[mm]b = \pm \wurzel{2}*y [/mm] und y = 2 !?!
und
[mm]a = \wurzel{x^2/(1-y^2/b^2)} [/mm] mit y = 2 und x = 3
a und b sind dann die parameter für meine Ellipsengleichung
hab ich das richtig verstanden ??
lg steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Di 03.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Steffi.
Ja, ich denk schon, dass das so richtig ist!
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Di 03.08.2004 | | Autor: | Christian |
Hallo.
Hmmm....
Vielleicht hab ich ja was falsch verstanden, aber wie kann denn b gleichzeitig Haupt- (oder Nebenachse, is ja wurscht) der Ellipse und Seite des Rechtecks sein?
Damit läge die Ellipse ja teilweise im Rechteck, was aber nicht der Aufgabenstellung entspricht.
Gruß
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Di 03.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Christian.
Nein, b ist nur die Nebenachse. a errechnet sich jedoch problemlos, wenn wir die anderen 3 Größen der elliptischen Gleichung kennen. Dadurch fällt a vorerst weg und wir können die Funktion mit einer Veränderlichen leicht ableiten und die Extrema finden.
a und b habe ich die Achsen genannt. x und y sind in der Gleichung die halben Seitenlängen, da ich o.B.d.A. den Ursprung des kart. Koordinatensystemes in die Mitte des Rechteckes gesetzt habe.
Nun klar oder habe ich mich irgendwo verzettelt?
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Di 03.08.2004 | | Autor: | Christian |
Hallo.
Ja, hast Du leider, Hanno.
Denn Du hast meiner Ansicht nach nirgendwo berücksichtigt, daß die Ecken des Rechtecks auf der Ellipse liegen müssen.
Ich schreibe gerade meine Lösung hin, damit das deutlicher wird, was ich meine...
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Di 03.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Christian.
Diene lösung ist nichts anderes als meine auch. Ich habe eben nicht zu Beginn
die halbe Seitenlänge substituiert, sondern erst zum Schluss. Dann kommt das selber raus.
*handshake*
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Di 03.08.2004 | | Autor: | Christian |
Hi.
*sichandenkopfhauwiebescheuerterdochwar*
Ja, natürlich.
Sorry.
Naja, wenigstens hab ich bei dem Spaß nochmal Extremwertaufgaben geübt...*g*
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Di 03.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho Christian.
Genau, sieh's einfach positiv ;)
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
Hallo allerseits!
Meiner Meinung nach müßte es so aussehen:
Seien a und b [mm]\in \IR^+[/mm] die Seiten des Rechtecks, so eingebettet in das KS wie Hanno es beschrieben hat.
Seien weiterhin c und z die Haupt-bzw. Nebenachse der Ellipse.
Dann gilt für die Ellipse:
[mm]E: \bruch{x^2} {c^2}+\bruch{y^2} {z^2}=1[/mm]
Des Weiteren müssen die Eckpunkte der Ellipse die Ellipsengleichung erfüllen, wobei es ausreicht, daß einer dies tut:
[mm](\bruch{a} {2}|\bruch{b} {2}) \in E[/mm]
=>
[mm]\bruch{a^2} {4c^2}+\bruch{b^2} {4z^2}=1[/mm]
und damit für die Hauptachse der Ellipse:
[mm]c= \bruch{az} {\wurzel{4z^2-b^2}}[/mm]
Dies setzt man nun in die Formel für den Flächeninhalt der Ellipse ein, bildet, die Ableitung (nach z), setzt diese gleich 0 und schon erhält man den Wert für z, für den der Flächeninhalt minimal wird. Diesen setzt man in die Formel für c ein und schon hat mans.
[mm]A(z)=\pi*c*z=\bruch{\pi*a*z^2} {\wurzel{4z^2-b^2}} [/mm]
Jetzt leiten wir ab,
[mm]A'(z)=\bruch{2\pi*a*z*(2z^2-b^2)} {(4z^2-b^2)^{\bruch{3} {2}}} [/mm]
setzen A'(z)=0, lösen nach z auf und erhalten (in meinem Falle aufgrund Zeitmangels mit Hilfe von Derive)
[mm]z=\bruch{\wurzel{2}} {2}*b[/mm]
als einzig sinnvolle Lösung.
Dies setzen wir ein in die Formel für c und erhalten
[mm]c=\bruch{\wurzel{2}} {2}*a[/mm].
Das wärs dann meiner Auffassung nach auch schon.
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Di 03.08.2004 | | Autor: | ratz |
vielen dank euch beiden, mittlerweile hab ich das auch voll und ganz verstanden.
lg steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:52 Mo 23.02.2009 | | Autor: | rolando |
Wie kann ich das obige Problem lösen wenn ich einen fest vorgeschriebenen Exzentriztäts-Faktor habe? d.H. wenn ich ein festes Verhältnis zwischen a und b habe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 26.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
