minimaler Materialverbrauch... < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Vicky89 |
| Aufgabe | | Ein quaderförmiger oben offener Container soll halb so hochnwie breit sein und ein Volumen von 108m³ besitzen. Welche Maße muss der Container erhalten, damit der Materiaverbrauch minimal ist? |
Hallo, brauche auch hier nochmal Hilfe.
Habe jetzt als Bedingungen:
(sei a=Länge; b=Höhe, c=Breite)
a*b*c=108m³
2a=b
Ich weiß jetzt nicht genau wie ich zu dem Materialverbrauch ne Formel aufstellen soll..
Wäre das dann
ac+2bc+2ab ?
Also alle Flächen, außer die obere zusammgerechnet?
Und wie gehe ich nun weiter vor?
Hab probiert das ineinander einzusetzen, nur krieg ich das, wo ich drei Formeln habe, nicht so wirklich hin.
lg
Vicky
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Wie wäre es mit:
1) $a * b * c = 108$
2) $2a = b $
3) $M = Materialverbrauch = ac + 2cb + 2ab$
2) in 1) -> $ [mm] 2a^2 [/mm] *c = 108 $ -> $ c = [mm] \bruch{54}{a^2} [/mm] $
alles in 3) eingesetzt:
$ M(a) = a* [mm] \bruch{54}{a^2} [/mm] + 2 * [mm] \bruch{54}{a^2} [/mm] *2a + 2a * 2a $
$ M(a) = [mm] \bruch{54}{a} [/mm] + [mm] \bruch{216}{a} [/mm] + [mm] 4a^2 [/mm] $
$ M(a) = [mm] \bruch{54 + 216}{a} [/mm] + [mm] 4a^2 [/mm] $
$ M(a) = [mm] \bruch{270}{a} [/mm] + [mm] 4a^2 [/mm] $
falls ich mich nicht verrechnet hab 
$M' = - [mm] \bruch{270}{a^2} [/mm] + 8a $
$M'' = [mm] \bruch{540}{a^3} [/mm] + 8 $
minimieren:
$M' = 0$ -> $ 0 = - [mm] \bruch{270}{a^2} [/mm] + 8a $
$ 270 = [mm] 8a^3 [/mm] $
$ a = 3,23 $
$M''(3,23) = [mm] \bruch{540}{(3,23)^3} [/mm] + 8 = 24 $ -> Tiefpunkt
Also wird für $a = 3,23 LE$ der Materialverbrauch minimal.
Randwerte $a=0$ und $a = [mm] \infty$
[/mm]
$a = 0$ ist nicht im Definitionsberech (Division durch 0)
[mm] $M(\infty) [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \bruch{270+4a^3}{a} [/mm] $
l'Hospital:
[mm] $M(\infty) [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} {12a^2} [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Vicky89 |
ah, danke schön...Hab zuerst soagr daran gedacht das so in etwa zu machen, aber es hat net so geanz hingehauen ;)
aber was ist das mit dem limes was du ganz zum schluss geamcht hast? das man die randwerte untersuchen muss, weiß ich ja.. aber irgendwie versteh ich deinen letzten schritt trotzdem nicht so wirklich, wie kommst du
auf [mm] \bruch{270 + 4a³}{a} [/mm] ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Mo 12.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Vicky
Randwerte sind manchmal wichtig zu überprüfen, aber da hier nur a=0 und [mm] \infty [/mm] in frage kommen und das in ner Anwendungsaufgabe Unsinn ist, muss man es nicht. die Regel, nach der hier der GW berechnet wurde benutzt man auf der Schule eigentlich kaum, musst du also nicht verstehen
Gruss leduart
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