minimales Rechteck um Fünfeck < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Di 29.09.2009 | | Autor: | AnnaM |
Hallo,
ich habe mehrere (viele!) konvexe Fünfecke und muss um jedes von ihnen ein möglichst kleines Rechteck legen. Kennt jemand ein Verfahren, mit welchem man bei gegebenen Fünfeck das kleinste Rechteck findet, in welches das Fünfeck noch hineinpasst?
Ich habe mir überlegt, dass mindestens drei der fünf Ecken des Fünfecks auf dem Rand des Rechtecks liegen müssen, denn sonst kann ich immer noch ein kleineres finden.
Meine Vermutung ist nun, dass die längste Seite des Fünfecks in einer Seite des Rechtecks liegen muss, damit das Rechteck möglichst klein wird. Kann diese Aussage aber leider nicht beweisen.
Stimmt das so oder gibt es noch eine bessere Lösung?
Wenn ja, warum?
Grüße Anna.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Di 29.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ich habe mehrere (viele!) konvexe Fünfecke und muss um
> jedes von ihnen ein möglichst kleines Rechteck legen.
> Kennt jemand ein Verfahren, mit welchem man bei gegebenen
> Fünfeck das kleinste Rechteck findet, in welches das
> Fünfeck noch hineinpasst?
>
> Ich habe mir überlegt, dass mindestens drei der fünf
> Ecken des Fünfecks auf dem Rand des Rechtecks liegen
> müssen, denn sonst kann ich immer noch ein kleineres
> finden.
> Meine Vermutung ist nun, dass die längste Seite des
> Fünfecks in einer Seite des Rechtecks liegen muss, damit
> das Rechteck möglichst klein wird. Kann diese Aussage aber
> leider nicht beweisen.
Hallo,
das ist auch nicht entscheidend. Wenn die Strecke [mm] P_1P_2 [/mm] auf der "unteren" Rechteckseite liegt und der Punkt [mm] P_4 [/mm] auf der "oberen", dann bestimmt die Höhe von [mm] P_4 [/mm] über [mm] P_1P_2 [/mm] auch die Höhe des Rechtecks. Die Breite des Rechtecks kann aber vor allem von der Lage der Punke [mm] P_3 [/mm] und [mm] P_5 [/mm] bestimmt werden (selbst wenn [mm] P_1P_2 [/mm] am längsten ist)!
Gruß Abakus
> Stimmt das so oder gibt es noch eine bessere Lösung?
> Wenn ja, warum?
>
> Grüße Anna.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mi 30.09.2009 | | Autor: | AnnaM |
Hallo,
> > ich habe mehrere (viele!) konvexe Fünfecke und muss um
> > jedes von ihnen ein möglichst kleines Rechteck legen.
> > Kennt jemand ein Verfahren, mit welchem man bei gegebenen
> > Fünfeck das kleinste Rechteck findet, in welches das
> > Fünfeck noch hineinpasst?
> >
> > Ich habe mir überlegt, dass mindestens drei der fünf
> > Ecken des Fünfecks auf dem Rand des Rechtecks liegen
> > müssen, denn sonst kann ich immer noch ein kleineres
> > finden.
> > Meine Vermutung ist nun, dass die längste Seite des
> > Fünfecks in einer Seite des Rechtecks liegen muss, damit
> > das Rechteck möglichst klein wird. Kann diese Aussage aber
> > leider nicht beweisen.
> Hallo,
> das ist auch nicht entscheidend. Wenn die Strecke [mm]P_1P_2[/mm]
> auf der "unteren" Rechteckseite liegt und der Punkt [mm]P_4[/mm] auf
> der "oberen", dann bestimmt die Höhe von [mm]P_4[/mm] über [mm]P_1P_2[/mm]
> auch die Höhe des Rechtecks. Die Breite des Rechtecks kann
> aber vor allem von der Lage der Punke [mm]P_3[/mm] und [mm]P_5[/mm] bestimmt
> werden (selbst wenn [mm]P_1P_2[/mm] am längsten ist)!
> Gruß Abakus
Nun ja, welche Punkte die Breite des Rechtecks angeben liegt natürlich an den Winkel in [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] ...... Außerdem muss auch nicht unbedingt [mm] P_4 [/mm] der Punkt sein der auf der "oberen" Rechteckseite liegt, wenn [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] auf der "unteren" liegen.
Mir ist klar, dass in deinem beschriebenen Fall die Strecke [mm] P_1P_2 [/mm] nicht unbedingt die Breite des Rechtecks angibt. Das war aber auch nicht meine Frage.
Meine Frage ist, ob ich so immer das kleinstmögliche Rechteck finde, dass das Fünfeck beinhaltet oder nicht. Und wenn nicht, gibt es dann ein anders Verfahren, ein kleinstmögliches Rechteck zu finden - welches?
> > Stimmt das so oder gibt es noch eine bessere Lösung?
> > Wenn ja, warum?
Grüße Anna.
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Hallo Anna,
ich denke nicht, dass man erwarten kann, dass stets
die längste Seite auf einer Rechtecksseite liegen muss.
Es wäre jedoch schon gut, wenn man zeigen könnte,
dass überhaupt mindestens eine Fünfecksseite auf einer
Rechtecksseite liegen muss. Dann hätte man nämlich
noch höchstens 5 Fälle zu untersuchen.
Für eine praktische Lösung wäre auch noch wichtig
zu wissen, in welcher Weise denn die Daten über
die Fünfecke vorliegen. Eckpunkte mit x-y-Koordinaten
oder Seitenlängen und Winkel ?
LG Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:20 Mi 30.09.2009 | | Autor: | AnnaM |
Hallo Al chwarizmi,
>
> ich denke nicht, dass man erwarten kann, dass stets
> die längste Seite auf einer Rechtecksseite liegen muss.
> Es wäre jedoch schon gut, wenn man zeigen könnte,
> dass überhaupt mindestens eine Fünfecksseite auf einer
> Rechtecksseite liegen muss. Dann hätte man nämlich
> noch höchstens 5 Fälle zu untersuchen.
>
Vielen Dank für deine Bemühungen, aber ich wäre dir sehr dankbar, wenn du Vermutungen nicht als Antwort, sondern als Mitteilung posten würdest. Vielleicht hätte ja jemand anderes einen Lösungsansatz, der die Frage dann aber nicht findet, da sie als beantwortet gilt. 
> Für eine praktische Lösung wäre auch noch wichtig
> zu wissen, in welcher Weise denn die Daten über
> die Fünfecke vorliegen. Eckpunkte mit x-y-Koordinaten
> oder Seitenlängen und Winkel ?
>
Ich habe im Moment die Seitenlänge und Winkel gegeben, aber ich komme auch mit einer Lösung zurecht, in der die Eckpunkte mit x-y Koordinaten vorliegen. Das eine in das andere zu übertragen ist ja nicht ein so großes Problem.
Zum Abschluss noch einmal meine Frage:
Wie kann ich zu vorgegebenen konvexen Fünfeck ein möglichst kleines Rechteck finden, das das Fünfeck beinhaltet?
Danke und Grüße Anna.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Mi 30.09.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
Vermutung: nimm die kürzeste Diagonale des Fünfecks und lege das Rechteck an die gegenüberliegende Seite an.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Mi 30.09.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
> Vermutung: nimm die kürzeste Diagonale des Fünfecks und
> lege das Rechteck an die gegenüberliegende Seite an.
ne sry stimmt nicht, hat nichts mit den Diagonalen zu tun
lg
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> Hallo Al chwarizmi,
>
> >
> > ich denke nicht, dass man erwarten kann, dass stets
> > die längste Seite auf einer Rechtecksseite liegen muss.
> > Es wäre jedoch schon gut, wenn man zeigen könnte,
> > dass überhaupt mindestens eine Fünfecksseite auf einer
> > Rechtecksseite liegen muss. Dann hätte man nämlich
> > noch höchstens 5 Fälle zu untersuchen.
> >
> Vielen Dank für deine Bemühungen, aber ich wäre dir sehr
> dankbar, wenn du Vermutungen nicht als Antwort, sondern als
> Mitteilung posten würdest. Vielleicht hätte ja jemand
> anderes einen Lösungsansatz, der die Frage dann aber nicht
> findet, da sie als beantwortet gilt.
Nun, ich dachte, dass diese "Vermutung" schon ein
wichtiger Ansatz zu einer Lösung sein könnte.
Ich habe deine ursprüngliche Frage jetzt wieder
auf "nicht beantwortet" gestellt.
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Fr 02.10.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Anna,
tolle Aufgabe, aber extrem schwierig zu lösen.
Gibt es irgendeine weitere Beschränkung (z.B. alle Winkel stumpf oder zumindest alle bis auf einen)?
Soweit ich sehe, müssen mindestens vier Eckpunkte auf den Rechteckseiten zu liegen kommen, damit das Rechteck minimalen Flächeninhalt hat. Dabei ist nicht notwendig die längste Seite Teil einer Rechteckseite. Wenn ich nicht irre (eine wesentliche Einschränkung ), zeigt das folgende Fünfeck, warum ich das meine:
(-10,0) (10,0) (-20,2) (20,1) (1,3)
Hier sind allerdings zwei Winkel nicht stumpf.
Übrigens ist Deine Frage sicher keine topologische. Trotzdem ist sie nicht so einfach zuzuordnen - rein geometrisch ist sie ja auch nicht. Ich lasse sie daher hier stehen, bis jemand anders, der sie auch neu positionieren könnte, mit mehr Fachkenntnis einen passenden Ort findet. Es wäre schade, wenn Deine Anfrage später nicht mehr über das Fachgebiet aufzufinden wäre, dazu ist sie viel zu interessant.
Ich gehe dann mal Fünfecke träumen. 
Grüße
reverend
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> Hallo Anna,
>
> tolle Aufgabe, aber extrem schwierig zu lösen.
> Gibt es irgendeine weitere Beschränkung (z.B. alle Winkel
> stumpf oder zumindest alle bis auf einen)?
>
> Soweit ich sehe, müssen mindestens vier Eckpunkte auf den
> Rechteckseiten zu liegen kommen, damit das Rechteck
> minimalen Flächeninhalt hat.
Hallo zusammen,
Dies ist nicht der Fall, wie folgendes Beispiel zeigen
dürfte:
A(-10,0) B(10,0), C(9,1), D(0,2), E(-9,1)
Auch bei diesem Beispiel gilt jedoch: Jede der vier
Seiten des minimalen umfassenden minimalen Rechtecks
enthält (mindestens) eine Ecke des Fünfecks.
Auch ich halte die Aufgabe für interessant. Wie so
oft: eine ganz simpel daher kommende Frage mit
grossem Tiefgang !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 Fr 02.10.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
danke für den Hinweis bzw. das Beispiel. Du hast - mal wieder - Recht. Spannende Sache, dies.
Liebe Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Fr 02.10.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
Also, hier ein paar Grundaxiome: 1. Legt man ein beliebig großes Viereck um ein Fünfeck, so kann es durch Parallelverschiebung einer Seite verkleinert werden, bis mindestens eine Ecke des Fümfecks die Seite berührt.
2. Es können nie mehr als 2 Ecken die gleiche Rechtecksseite berühren.
3. Jede Ecke kann höchstens 2 Seiten berühren.
Nun mein Ansatz der mir selbst Schwierigkeiten macht:
Da eine Rechtecksseite immer an den Eckpunkten das Fünfeck berührt, braucht man sich nur die Punktkoordinaten anszuschauen.
Dann kann man mithilfe der vektoriellen Ebenendarstellung die Fläche des Rechtecks ausrechnen (indem man die Koordinaten jeweils in ein Rechteck zerlegt).
[mm] \vec{x}=\vektor{a \\ b}=\vektor{0 \\ 0}+s\vektor{x \\ 1}+t\vektor{-1 \\ x} [/mm] ergibt dann für x= [mm] [0:\infty] [/mm] jede mögliche Lage des Rechtecks.
Nun stellt man nach s und t um und ersetzt die jeweils andere Variable über die andere Gleichung:
[mm] t=\bruch{a-bx}{1+x^2} [/mm] und [mm] s=\bruch{ax+b}{1-x^2}
[/mm]
Nun ist das Problem, dass jetzt eine Rechenmaschine die Punkte für jedes x einsetzen und entscheiden muss, ob die Fläche größer oder kleiner wird, da die Fläche [mm] A=(s_{max}-s_{min})*(t_{max}-t_{min}) [/mm] sich aus den verschiedenen Punkten errechnet.
Das ist möglich, da die Flächenfunktion (stückweise) stetig ist, aber es ist lediglich ein Herumprobieren.
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> Hallo,
>
> Also, hier ein paar Grundaxiome: 1. Legt man ein beliebig
> großes Viereck um ein Fünfeck, so kann es durch
> Parallelverschiebung einer Seite verkleinert werden, bis
> mindestens eine Ecke des Fümfecks die Seite berührt.
> 2. Es können nie mehr als 2 Ecken die gleiche
> Rechtecksseite berühren.
Das trifft zu, wenn du "strenge Konvexität" voraussetzen
willst (alle 5 Innenwinkel <180°). Dies muss man aber
nicht unbedingt.
> 3. Jede Ecke kann höchstens 2 Seiten berühren.
>
> Nun mein Ansatz der mir selbst Schwierigkeiten macht:
> Da eine Rechtecksseite immer an den Eckpunkten das
> Fünfeck berührt, braucht man sich nur die
> Punktkoordinaten anszuschauen.
> Dann kann man mithilfe der vektoriellen Ebenendarstellung
> die Fläche des Rechtecks ausrechnen (indem man die
> Koordinaten jeweils in ein Rechteck zerlegt).
> [mm]\vec{x}=\vektor{a \\ b}=\vektor{0 \\ 0}+s\vektor{x \\ 1}+t\vektor{-1 \\ x}[/mm]
> ergibt dann für x= [mm][0:\infty][/mm] jede mögliche Lage des
> Rechtecks.
> Nun stellt man nach s und t um und ersetzt die jeweils
> andere Variable über die andere Gleichung:
> [mm]t=\bruch{a-bx}{1+x^2}[/mm] und [mm]s=\bruch{ax+b}{1-x^2}[/mm]
>
> Nun ist das Problem, dass jetzt eine Rechenmaschine die
> Punkte für jedes x einsetzen und entscheiden muss, ob die
> Fläche größer oder kleiner wird, da die Fläche
> [mm]A=(s_{max}-s_{min})*(t_{max}-t_{min})[/mm] aus denverschiedenen
> Punkten.
> Das ist möglich, da die Flächenfunktion (stückweise)
> stetig ist, aber es ist lediglich ein Herumprobieren.
Falls gesichert wäre (aber ich zweifle daran), dass stets
eine ganze Fünfecksseite auf einer Rechtecksseite
liegen muss, hätte man nur noch 5 Fälle zu prüfen
und zu vergleichen. Dies liesse sich in einem relativ
einfachen Programm realisieren.
Falls wir es aber zunächst mit einer unendlichen
Anzahl an Rechtecken zu tun haben, würde ich zu
einem Suchalgorithmus tendieren, der gegen die
(bzw. eine) Lösung konvergiert. Dazu kann man
das Koordinatensystem drehen und stets die mini-
malen und die maximalen x- und y-Koordinaten
der Eckpunkte benützen. Dabei denke ich an eine
erste grobe Suche, die nachher schrittweise ver-
feinert wird.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:46 Sa 03.10.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Anna,
vielleicht findest Du eine der folgenden Ideen hilfreich. Ich habe die Aufgabe selbst noch nicht gelöst, aber es gibt ein paar Ansätze.
1)
a) Wie groß ist das kleinste Rechteck um ein beliebiges Dreieck (das ja notwendig konvex ist)? Es gibt drei solche Rechtecke. Alle haben den gleichen Flächeninhalt.
b) Erweitern wir das Dreieck auf ein Viereck. Dazu trennen wir eine Seite und fügen einen Punkt außerhalb des bisherigen Dreiecks hinzu. Das sind noch nicht alle Bedingungen, aber Du siehst sicher, was ich meine. Was heißt das für das kleinste Rechteck um das neu entstandene Viereck? Hätte man - bei gegebenem Viereck - schon vorher wissen können, welchen Punkt man für die Triangulation erst einmal hätte auslassen können? Vermutung: den Punkt mit dem größten Winkel. Voraussetzung: kein Winkel ist größer als [mm] \pi [/mm] bzw. 180° (echte Konvexität).
c) Nun hast Du schon eine Fallunterscheidung. Lass den fünften Punkt hinzukommen. Was gilt dann? Das scheint noch lösbar zu sein, während ich z.Z. für die Fortsetzung zum Sechseck keinen Ansatz mehr sehe.
2)
Lassen wir das Fünfeck rotieren, so dass die linke Begrenzung immer auf der y-Achse, die untere auf der x-Achse liegt. Lässt sich die Fläche des (eindeutig bestimmten) einhüllenden Rechtecks, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen, in einer handhabbaren Funktion bestimmen? Wo liegt ihr globales Minimum?
3)
Von hinten durch die Brust ins Auge geschossen: welche Bedingungen muss ein konvexes Fünfeck erfüllen, das einem Rechteck derart einbeschrieben ist, dass es kein kleineres Rechteck gibt, das das gleiche Fünfeck umhüllt? Gibt es hierzu Regeln?
4)
Reicht es für Deine Aufgabe möglicherweise, sehr kleine (aber nicht notwendig kleinste) Rechtecke zu finden? Dann wäre Dein Ansatz mit der längsten Seite womöglich hinreichend. Nur: wie definiert man "sehr klein"?
Mir scheint der erste Ansatz am vielversprechendsten, nur hat er bei mir noch keines seiner vermeintlichen Versprechen gehalten. Vielleicht hilft Dir diese kleine Ideensammlung trotzdem weiter.
LG,
reverend
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> 1)
> a) Wie groß ist das kleinste Rechteck um ein beliebiges
> Dreieck (das ja notwendig konvex ist)? Es gibt drei solche
> Rechtecke. Alle haben den gleichen Flächeninhalt. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hallo reverend,
letzteres gilt zwar für spitzwinklige Dreiecke. Für
rechtwinklige gibt es zwei gleich große Rechtecke.
Bei einem stumpfwinkligen Dreieck haben diese
"Minimal-Rechtecke" unterschiedliche Flächen-
inhalte. Ist das Dreieck stumpfwinklig und gleich-
schenklig, sind natürlich zwei davon gleich groß,
das mit der längsten Seite als Grundlinie hat aber
einen kleineren Flächeninhalt als diese beiden.
Lieben Gruß
Al
Mittlerweile habe ich ein Programm erstellt, welches
Vielecke "verpackt“. Das sieht dann z.B. so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> > Mittlerweile habe ich ein Programm erstellt, welches
> > Vielecke "verpackt". Das sieht dann z.B. so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Sehr hübsch. Bist Du damit auch schon einer Lösung
> nähergekommen? So am grünen Tisch ist die ja offenbar
> nicht so einfach zu finden.
>
> Liebe Grüße
> reverend
Hallo reverend,
Die Suche nach einer exakten Lösung musste ich
natürlich ruhen lassen, während ich an dem Pro-
gramm bastelte.
Bei der Simulation mit zufällig produzierten 5-Ecken
zeigt sich, dass wohl fast immer doch eine Seite auf
eine Rechtecksseite zu liegen kommt. Ich suche aber
noch ein prägnantes Gegenbeispiel. Das Programm
stellt auch die Rechtecksfläche in Abhängigkeit von
einem Drehwinkel dar, der von 0° bis 90° läuft.
Ein Beispiel dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
zugehörige Figur:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Natürlich führte dies gleich zur nächstschwierigeren
Frage: Könnte es möglich sein, aus der Rechtecks-
flächenfunktion [mm] R(\alpha) [/mm] die Form z.B. eines rotie-
renden Dreiecks, Vierecks, Fünfecks zu rekonstruieren ?
Das wäre dann so etwas wie Polygon-Tomografie
Gruß Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Anna,
Müßte es bei deiner Aufgabe nicht reichen, einfach das Minimum und Maximum für die x- und y-Koordinaten der gegebenen Punkte zu bestimmen und diese dann zu verbinden? Ein solches Verfahren benötigt bei einem n-Eck [mm]\mathcal{O}(n)[/mm] Schritte.
Selbst wenn es eine konkrete Formel für deinen Spezialfall n = 5 geben sollte, wäre das obige Verfahren doch wesentlich einfacher?
Viele Grüße
Karl
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> Hallo,
>
> ich habe mehrere (viele!) konvexe Fünfecke und muss um
> jedes von ihnen ein möglichst kleines Rechteck legen.
> Kennt jemand ein Verfahren, mit welchem man bei gegebenen
> Fünfeck das kleinste Rechteck findet, in welches das
> Fünfeck noch hineinpasst?
>
> Ich habe mir überlegt, dass mindestens drei der fünf
> Ecken des Fünfecks auf dem Rand des Rechtecks liegen
> müssen, denn sonst kann ich immer noch ein kleineres
> finden.
> Meine Vermutung ist nun, dass die längste Seite des
> Fünfecks in einer Seite des Rechtecks liegen muss, damit
> das Rechteck möglichst klein wird. Kann diese Aussage aber
> leider nicht beweisen.
> Stimmt das so oder gibt es noch eine bessere Lösung?
> Wenn ja, warum?
>
> Grüße Anna.
Hallo Anna,
du hast wohl gemerkt, dass du mit deiner Frage eine
interessante Diskussion angestoßen hast. Eine exakte
geometrische Lösung hat bisher noch keiner der Be-
teiligten gefunden.
Ich erkläre deshalb kurz die Idee zu meiner appro-
ximativen Lösung mittels Computerprogramm.
Ich drehe die Eckpunkte des Fünfecks ausgehend
von ihrerer ursprünglichen Lage in kleinen Winkel-
schritten von z.B. 1° oder 0.2° weiter. Das geht mit
einer einfachen Drehmatrix ganz leicht. Bei jedem
Schritt werden die Werte xmin,xmax,ymin,ymax
und die resultierende Rechtecksfläche
[mm] R(\alpha)=(xmax-xmin)*(ymax-ymin)
[/mm]
berechnet. Der Winkel [mm] \alpha [/mm] muss von 0° bis 90° laufen
(nachher wiederholt sich die Flächenfunktion periodisch).
Dasjenige [mm] \alpha, [/mm] für welches der kleinste Wert von R
entsteht, wird dann als Drehwinkel benützt, um
das ursprüngliche Fünfeck so zu drehen, dass das
umfassende minimale Rechteck Achsenparallele
Seiten bekommt. Man könnte natürlich auch das
Fünfeck in seiner ursprünglichen Lage belassen
und dafür das Rechteck drehen.
Natürlich ist diese Methode nur so genau wie durch
die Winkelschrittweite vorgegeben ist.
LG Al-Chw.
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Hallo alle TüftlerInnen,
gerade als ich versuchen wollte, einen Beweis dafür
anzusetzen, dass mindestens eine Seite des Fünfecks
auf einer Rechtecksseite liegen muss (durch Annahme
des Gegenteils und dann zeigen, dass es dann ein
kleineres Rechteck geben muss), suchte ich nochmals
im Netz, ob wohl schon jemand diese Frage bearbeitet
habe, und landete einen Volltreffer:
![[]](/images/popup.gif) Zuschnittoptimierung
(aus einem Buch von Guntram Scheithauer)
Auf S. 291/292 findet man dort genau den gesuchten
Beweis.
Die Realisierung kann man dann auch dem Computer
überlassen:
Das Fünfeck in 5 Lagen drehen, wobei jeweils eine der
5 Seiten achsenparallel ist. Für diese 5 Lagen nach der
in dieser Antwort beschriebenen Weise die Fläche des
umbeschriebenen achsenparallelen Rechtecks berech-
nen und von diesen Flächeninhalten den kleinsten
auswählen.
Gruß Al-Chwarizmi
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
