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Hallo,
meine Vermutung ist ( ich nenne sie "mj49"), dass der Ausdruck:
[mm] E=(x+y)^n-x^n-y^n
[/mm]
p=x²+xy+y² und n=6t+1 oder n=6t-1
sich als Polynom in y und p darstellen lässt und eine Formel in der Kombinatorik für die Koeffizientendarstellung gibt.
Hier Beispiele von n für 5,7,11 und 13
[mm] (x+y)^5 -x^5 -y^5 =+5(x^2+xy+y^2)^2y-5(x^2+xy+y^2)y^3
[/mm]
[mm] (x+y)^7 -x^7 -y^7 =+7(x^2+xy+y^2)^3y-7(x^2+xy+y^2)^2y^3
[/mm]
[mm] (x+y)^{11}-x^{11}-y^{11}=+11p^5y^1+00p^4y^3-33p^3y^5+33p^2y^7-11p^1y^9
[/mm]
[mm] (x+y)^{13}-x^{13}-y^{13}=+13p^6y^1+13p^5y^3-78p^4y^5+78p^3y^7-26p^2y^9
[/mm]
Wer hat eine Idee? Wer kann mir helfen oder es alleine machen?
Ich habe die Darstellung für n=17,19. Bei Bedarf kann ich sie zeigen.
Für n=23 und 25 behalte ich für Gegenkontrollen.
LG martinjosef49
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internet seiten gestellt.
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=534287
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> meine Vermutung ist ( ich nenne sie "mj49"), dass der
> Ausdruck:
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> [mm]E=(x+y)^n-x^n-y^n[/mm]
> wenn [mm]p=x^2+xy+y^2[/mm]
>
> nur für n=6t+1 und n=6t-1 als Polynom in y und p
> darstellen lässt
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Für n=9 erhält man [mm] -3y(y^8-3py^6+3p^2y^4+2p^3y^2-3p^4), [/mm] und 9 [mm] \not= [/mm] 6t [mm] \pm [/mm] 1.
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Hallo,
ich danke dir für dein Interesse.
Ich habe die Bedingung gestellt n=6t+1 oder n=6t-1.
9 entspricht nicht der Bedingung.
Es würde mich freuen, von dir weitere Anregungen zu erhalten.
LG martinjosef49
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> Hallo,
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> ich danke dir für dein Interesse.
> Ich habe die Bedingung gestellt n=6t+1 oder n=6t-1.
> 9 entspricht nicht der Bedingung.
Hallo,
eben...
Du schriebst, daß diese Darstellung nur für n=6t+1 oder n=6t-1 funktuioniert.
Und HJKweseleit hat gezeigt, daß dies nicht stimmt. Es funktioniert auch für mindestens ein n, welches von anderer Bauart ist.
Möglicherweise hattest Du es anders gemeint, und wolltest sagen, daß es für [mm] n=6t\pm [/mm] 1 auf jeden Fall funktioniert, und Du über die anderen Fälle nichts sagen kannst oder möchtest.
Es ist in der Mathematik wichtig, das zu formulieren, was man wirklich meint.
Ob man behauptet, daß etwas nur unter einer gewissen Bedingung funktioniert, oder daß es unter einen gewissen Bedingung funktioniert, ist ein großer Unterschied.
LG Angela
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Liebe Angela,
vielen Dank für deinen Hinweis, ich hoffe die Änderung ist richtig.
LG martinjosef49
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Hallo,
interessant ist nur wenn n=6t+1 und n=6t-1.
Die Bedingung ist nicht genau gestellt. Ich meine wenn E darstellbar in einem Polynom von eine Summe p*y.
LG martinjosef49
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Es ist so, dass für alle ungeraden n ein Polynom in p und y entsteht. Den Beweis will ich hier nur andeuten:
Aus [mm] p=x^2+xy+y^2 [/mm] erhält man mit der p-q-Formel: x = - [mm] \bruch{y}{2} \pm \wurzel{\bruch{y^2}{4}+p-y^2} [/mm] = - [mm] \bruch{y}{2} \pm \wurzel{p -\bruch{3y^2}{4}}.
[/mm]
Wählt man zunächst die Lösung x = [mm] -\bruch{y}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{p -\bruch{3y^2}{4}} [/mm] und daraus x+y = y + [mm] -\bruch{y}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{p -\bruch{3y^2}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{y}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{p -\bruch{3y^2}{4}},
[/mm]
so wird damit das Polynom [mm] (x+y)^n [/mm] - [mm] x^n [/mm] - [mm] y^n [/mm] zu
[mm] (\bruch{y}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{p -\bruch{3y^2}{4}})^n-(-\bruch{y}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{p -\bruch{3y^2}{4}})^n [/mm] - [mm] y^n.
[/mm]
Es ist eine Funktion nur noch von y und p und genau dann ein Polynom in y und p, wenn man die Wurzeln zum Verschwinden bringen kann. Außerdem kann man [mm] y^n [/mm] dabei weglassen, weil das Ganze genau dann ein Polynom in p und y ist, wenn es auch ohne [mm] y^n [/mm] eines ist.
Der zu betrachtende Ausdruck hat somit nur noch die vereinfachte Form
[mm] (\wurzel{a}+b)^n [/mm] - [mm] (\wurzel{a}-b)^n [/mm] .
Wenn ich die auftauchenden Binomialkoeffizienten vereinfacht der Reihe nach mit [mm] k_1, k_2 [/mm] usw. bezeichne, ergibt das:
[mm] (\wurzel{a})^n+k_1(\wurzel{a})^{n-1}b+k_2(\wurzel{a})^{n-2}b^2+k_3(\wurzel{a})^{n-3}b^3 [/mm] + ... [mm] +b^n
[/mm]
- [mm] ((\wurzel{a})^n-k_1(\wurzel{a})^{n-1}b+k_2(\wurzel{a})^{n-2}b^2-k_3(\wurzel{a})^{n-3}b^3 [/mm] + ... [mm] +(-1)^n b^n)
[/mm]
= 2 ( [mm] k_1(\wurzel{a})^{n-1}b [/mm] + [mm] k_3(\wurzel{a})^{n-3}b^3 [/mm] + [mm] k_5(\wurzel{a})^{n-5}b^5 [/mm] +... )
In diesem Ausdruck verschwinden alle Wurzeln genau dann, wenn sie einen geraden Exponenten bekommen, wenn also n ungerade ist.
Der Beweis mit der negativen Wurzel geht analog.
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Hallo,
ein schöner Beweis, und richtig ist er auch, sonst wäre er nicht schön.
Dafür gratuliere ich. Danke
Meine nächste Schwierigkeitn, den Koeffizienten in ein Comuterprogramm zu übertragen.
Schreibe dir eine PN
LG
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Hallo JKWeseleit, lies bitte meinen ersten Beitrag bis zur letzten Zeile.
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