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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Mo 23.11.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Gegeben seien ein Körper K und Untervektorräume X, Y,Z eines K-Vektorraums V .
(ii) Entscheiden Sie jeweils durch einen Beweis oder ein Gegenbeispiel, welche der folgenden Aussagen
allgemein richtig sind:
(a) X ⊆ Z ⇒ X + (Y ∩ Z) = (X + Y ) ∩ Z (modulares Gesetz)
(b) X + (Y ∩ Z) = (X + Y ) ∩ (X + Z) (Distributivgesetz)
(c) X ∩ (Y + Z) = (X ∩ Y ) + (X ∩ Z) (Distributivgesetz) |
Hallo!
Ich komme irgendwie mit den Untervektorräumen nicht so klar,
deswegen weiss ich überhaupt nicht, wie ich hier einen Beweis ansetzen soll,
oder ggf. ein Gegenbeispiel finden soll.
Meine Intuition sagt mir, das das 1. und das 3. stimmen, das 2. aber nicht.
Was ich bisher weiss:
Untervektorraum definiert als:
Eine nichtleere (!) Teilmenge U eines K-Vektorraums V heißt Untervektorraum
(linearer Unterraum) von V, falls gilt:
(i) u, v ∈ U ⇒ u + v ∈ U.
(ii) u ∈ U, a ∈ K ⇒ au ∈ U.
Was Vereinigung und Durchschnitt meint, weiss ich auch,
kann mir jemand helfen, wie ich hier den ansatz fuer den beweis zu machen habe? und wie ich hier ueberprüfe ob es stimmt oder nicht (also gegenbeispiel suchen...?)
danke,
katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mo 23.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben seien ein Körper K und Untervektorräume X, Y,Z
> eines K-Vektorraums V .
> (ii) Entscheiden Sie jeweils durch einen Beweis oder ein
> Gegenbeispiel, welche der folgenden Aussagen
> allgemein richtig sind:
> (a) X ⊆ Z ⇒ X + (Y ∩ Z) = (X + Y ) ∩ Z (modulares
> Gesetz)
> (b) X + (Y ∩ Z) = (X + Y ) ∩ (X + Z)
> (Distributivgesetz)
> (c) X ∩ (Y + Z) = (X ∩ Y ) + (X ∩ Z)
> (Distributivgesetz)
> Hallo!
>
> Ich komme irgendwie mit den Untervektorräumen nicht so
> klar,
> deswegen weiss ich überhaupt nicht, wie ich hier einen
> Beweis ansetzen soll,
> oder ggf. ein Gegenbeispiel finden soll.
Eine gute Idee fuer sowas ist immer: nimm $V = [mm] K^2$ [/mm] und als $X, Y, Z$ nimmst du die von $(1, 0)$, $(0, 1)$ und $(1, 1)$ erzeugten UVRe. Damit kannst du schnell Gegenbeispiele fuer (b) und (c) finden.
(Ueberleg dir mal, was Summe und Schnitt von je zwei verschiedenen von diesen UVRen ist.)
> Meine Intuition sagt mir, das das 1. und das 3. stimmen,
> das 2. aber nicht.
Fast  Ich wuerde sagen, nur 1. stimmt.
Um 1. zu beweisen, musst du zwei Inklusionen zeigen. Fang doch mal mit einer an und guck wie weit du kommst. Wenn du Probleme hast schreib hier hin wie weit du gekommen bist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Di 24.11.2009 | | Autor: | katjap |
hej danke,
hat mir geholfen, und hat mir zumindest die gegenbeispiele leichter gemacht.
habs gestern noch gesehen konnte nur nicht mehr antworten.
lg
katja
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