www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - multiplikatives inverses Elem
multiplikatives inverses Elem < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

multiplikatives inverses Elem: Tipp oder Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:33 Di 19.11.2013
Autor: Poseidon1987

Aufgabe
Zeigen Sie, dass Q[Wurzel 2] := {a + (b Wurzel 2) | a,b € Q} zusammen mit den Verknüpfungen
+ : Q[Wurzel 2] x Q[Wurzel 2] --> Q[Wurzel 2], (a+ (b Wurzel 2), c+(d Wurzel 2) ) --> (a + c) + (b + d) Wurzel 2

* : Q[Wurzel 2] x Q[Wurzel 2] --> Q[Wurzel 2], (a+ (b Wurzel 2), c+(d Wurzel 2) ) --> (ac + 2bd) + (ad + bc) Wurzel 2

ein Körper ist (Hinweis: Zur Bestimmung des Inversen, denken Sie an die dritte binomische Formel sowie das Erweitern von Brüchen.)

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?p=2685048624#post2685048624

Ich habe alles durch um zu Zeigen dass Q ein Körper ist, mir fehlt nur noch das Inverse bei der Multiplikation.  Der Hinweis in der Aufgabenstellung hilft mir leider nicht viel weiter. Durch herumprobieren komme ich einfach nciht auf das Ergebnis drauf =( Hat jemand einen Tipp für mich?

Vielen Dank schonmal im Vorraus =)

        
Bezug
multiplikatives inverses Elem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:28 Mi 20.11.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Zeigen Sie, dass Q[Wurzel 2] := {a + (b Wurzel 2) | a,b €
> Q} zusammen mit den Verknüpfungen
>   + : Q[Wurzel 2] x Q[Wurzel 2] --> Q[Wurzel 2], (a+ (b

> Wurzel 2), c+(d Wurzel 2) ) --> (a + c) + (b + d) Wurzel 2
>  
> * : Q[Wurzel 2] x Q[Wurzel 2] --> Q[Wurzel 2], (a+ (b
> Wurzel 2), c+(d Wurzel 2) ) --> (ac + 2bd) + (ad + bc)
> Wurzel 2

benutze doch bitte den Formeleditor - die Multiplikation interessiert für
untiges noch, dacher

    $* [mm] \colon \IQ[\sqrt{2}] \times \IQ[\sqrt{2}] \to \IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] ist definiert
    durch

    [mm] $(\*)$ $(a+b\sqrt{2})*(c+d\sqrt{2}):=ac+2bd+(ad+bc)*\sqrt{2}\,.$ [/mm]

> ein Körper ist (Hinweis: Zur Bestimmung des Inversen,
> denken Sie an die dritte binomische Formel sowie das
> Erweitern von Brüchen.)

So, sei also [mm] $(a+b\sqrt{2})$ [/mm] aus [mm] $\IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] nicht die additive Null. Du wirst sicher nachgerechnet
haben, dass [mm] $1=1+0*\sqrt{2}$ [/mm] das neutrale Element der Addition ist. Daher
suchst Du nun - ein hoffentlich existierendes (und dann eindeutig
bestimmtes) - Element

    [mm] $(c+d\sqrt{2}) \in \IQ[\sqrt{2}]$ [/mm]

mit

    [mm] $(a+b\sqrt{2})*(c+d\sqrt{2})=1\,.$ [/mm]

Dabei muss insbesondere $c,d [mm] \in \IQ$ [/mm] sein.

Wenn Du auf [mm] $(\*)$ [/mm] guckst, so solltest Du Dir klarmachen, dass daher die beiden
Gleichungen

    (I)    [mm] $ac+2bd=1\,$ [/mm]

und

    (II)    [mm] $ad+bc=0\,$ [/mm]

zu lösen sind - bedenke dabei:
Du willst sie in den Variablen $c,d [mm] \in \IQ$ [/mm] lösen, und $a,b [mm] \in \IQ$ [/mm] sind dabei
als "fest" (Parameter) zu betrachten.

--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------

Eine zweite Möglichkeit:
Bringe für $a,b [mm] \in \IQ\,,$ $a+b\sqrt{2} \not=0$ [/mm] den Ausdruck

    [mm] $\frac{1}{a+b\sqrt{2}}$ [/mm]

in eine Form

    [mm] $c+d\sqrt{2}$ [/mm]

und lies [mm] $c,d\,$ [/mm] ab (Frage: Warum funktioniert das denn überhaupt so?):

    [mm] $\frac{1}{a+b\sqrt{2}}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}=\underbrace{\frac{a}{a^2-2b^2}}_{=c}+\underbrace{\frac{-b}{a^2-2b^2}}_{=d}*\sqrt{2}\,.$ [/mm]

Siehst Du nun die multiplikative Inverse? (Fragen: Wieso gilt [mm] $a^2-2b^2 \not=0$? [/mm]
Wieso ist [mm] $a/(a^2-2b^2) \in \IQ$ [/mm] und auch [mm] $-b/(a^2-2b^2) \in \IQ$?) [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
multiplikatives inverses Elem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:22 Mi 20.11.2013
Autor: Poseidon1987

so habe ich es verstanden =) Vielen Dank für die schnelle gute Hilfe vor allem um die Uhrzeit =)

Bezug
                        
Bezug
multiplikatives inverses Elem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:36 Mi 20.11.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> so habe ich es verstanden =)

wirklich verstanden (ich frage nochmal, weil Du in dem Chemieforum ja
kurz vorher nochmal nachgefragt hattest, und es Dir da noch unklar war).

> Vielen Dank für die schnelle
> gute Hilfe vor allem um die Uhrzeit =)

Gerne - aber, falls doch noch was unklar sein sollte: Lieber nochmal
nachfragen (übrigens ist die Frage, warum [mm] $a^2-2b^2 \not=0$ [/mm] ist, und das
ist durchaus nicht unwichtig, noch nicht von Dir beantwortet worden).

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de