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Hallo,
ich brauche dringend Hilfe bei der folgenden Aufgabe:
Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] eine Basis von V.
Für j [mm] \in [/mm] {1,...,n} definieren wir [mm] w_{j}:= \summe_{i=1}^{j}v_{i}.
[/mm]
(a) Zeige, dass [mm] (w_{1},...,w_{n}) [/mm] eine Basis von V ist.
(b) Berechne die Darstellungsmatrix [mm] M^{(v_{1},...,v_{n})}_{(w_{1},...,w_{n})} (Id_{v}).
[/mm]
Ich hab einfach keine Ahnung wie ich anfangen soll.
Bin verzweifelt.
Danke.
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Da du ja weißt, daß der Vektorraum die Dimension [mm]n[/mm] hat, brauchst du nur die lineare Unabhängigkeit der [mm]w_j[/mm] nachzuweisen. Gehe daher von einer Relation
[mm]\sum_{j=1}^n~\lambda_j w_j = 0[/mm]
mit Skalaren [mm]\lambda_j[/mm] aus und weise nach, daß diese alle 0 sein müssen.
Tip: Zeige, daß die linke Seite auf die Form
[mm]\sum_{i=1}^n~\left( \sum_{j=i}^n~\lambda_j \right) v_i[/mm]
gebracht werden kann und beachte die lineare Unabhängigkeit der [mm]v_i[/mm].
Wenn dir solche Umformungen suspekt sind, dann mache dir die Situation bei kleinen Zahlen (z.B. [mm]n=4[/mm]) klar.
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Hallo,
danke für deine Antwort. Bin nun bisher soweit fortgeschritten:
Z.Z: [mm] k_{1}w_{1}+k_{2}w_{2}+...+ k_{n}w_{n}=0
[/mm]
Aus der Vorgabe aus der Aufgabenstellung erhält man:
[mm] w_{1}=v_{1}
[/mm]
[mm] w_{2}= v_{1}+v_{2}
[/mm]
[mm] w_{3}= v_{1}+v_{2}+v_{3}
[/mm]
[mm] w_{4}= v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4}
[/mm]
...
w{n}= [mm] v_{1}+v_{2}+...+v_{n}
[/mm]
Das kann man oben für [mm] w_{i} [/mm] nun einsetzen. Man erhält nach Umformungen
[mm] v_{1} (k_{1}+k_{2}+k_{3}+...+k_{n}) [/mm] + [mm] v_{2} (k_{2}+k_{3}+k_{4}+...+k_{n}) [/mm] + [mm] v_{3} (k_{3} [/mm] + [mm] k_{4}+...+ k_{n}) [/mm] + ... [mm] k_{n} v_{n}=0
[/mm]
Da nach Voraussetzung [mm] v_{i}, [/mm] i= {1,...,n} Basis von V sind, also linear unabhängig, so müssen die Koeffizienten [mm] k_{i}, [/mm] i={1, ...,n} identisch und gleich 0 sein. Reicht das so aus?
Zu (b) Berechnung der Darstellungsmatrix
[mm] (v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{n})
[/mm]
M [mm] (Id_{v})
[/mm]
[mm] (w_{1}, [/mm] ...., [mm] w_{n})
[/mm]
fehlt mir jedoch leider immer noch jeglicher Ansatz. Für weitere Tipps wäre ich dankbar 
Liebe Grüße!
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Beim Beweis der linearen Unabhängigkeit kannst du zunächst nur schließen, daß die Koeffizienten der [mm]v_i[/mm]-Linearkombination 0 sein müssen:
[mm]k_1 + k_2 + k_3 + \ldots + k_n = 0[/mm]
[mm]k_2 + k_3 + \ldots + k_n = 0[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
[mm]k_n = 0[/mm]
Diese lineare Gleichungssystem kannst du nun allerdings von unten nach oben auflösen, so daß du das Gewünschte erhältst.
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Hallo:),
danke für deine Antwort. Hat jemand für b) Noch einen Tipp?
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> Hallo:),
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> danke für deine Antwort. Hat jemand für b) Noch einen Tipp?
Hallo,
hierfür mußt Du die [mm] v_i [/mm] als Linearkombination der [mm] w_i [/mm] ausdrücken und das Ergebnis in die Spalten der gesuchten Matrix schreiben.
Gruß v. Angela
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