n-dimensionale Einheitswürfel < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für [mm] n\in\IN [/mm] betrachten wir den Einheitswürfel [mm] W_n:=[0,1]^n\subset\IR^n [/mm] im n-dimensionalen euklidischen Raum und die in diesem Würfel enthaltene maximale offene Kugel um den Würfelmittelpunkt
[mm] B_n:=K_\bruch{1}{2} ((\underbrace{\bruch{1}{2},...,\bruch{1}{2}}_{n}))=\{(x_1,...,x_n)\in\IR^n: \wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_i-\bruch{1}{2})^2}<\bruch{1}{2}\forall i \in\{1,...,n\}\}\subset W_n
[/mm]
sowie die minimale abgeschlossene Kugel um den Würfelmittelpunkt, die den Würfel [mm] W_n [/mm] enthält:
[mm] A_n:=\overline{K}_\bruch{\wurzel{n}}{2} ((\underbrace{\bruch{1}{2},...,\bruch{1}{2}}_{n}))=\{(x_1,...,x_n)\in\IR^n: \wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_i-\bruch{1}{2})^2}<\bruch{\wurzel{n}}{2}\forall i \in\{1,...,n\}\}\supset W_n
[/mm]
(Die Diagonale in [mm] W_n [/mm] hat Länge [mm] \wurzel{n}, [/mm] der Kugelradius ist die Hälfte davon.)
a) Zeichnen Sie die Mengen [mm] W_2, A_2, B_2 [/mm] zusammen in ein geeignetes Koordinatensystem und zeichnen Sie darin zusätzlich Würfel von maximaler Seitenlänge ein, der in [mm] W_2-B_2 [/mm] enthalten ist, sowie einen Würfel von maximaler Seitenlänge, der in [mm] A_2-Int(W_2) [/mm] enthalten ist.
Zur Erinnerung: Int bezeichnet das Innere einer Menge in einem metrischen Raum; man mache sich klar, dass [mm] Int(W_n)=(0,1)^n [/mm] gilt.
b) Berechnen Sie das Volumen [mm] 'V_2 [/mm] eines Würfels von maximaler Seitenlänge , der in [mm] W_2-B_2 [/mm] enthalten ist und das Volumen [mm] 'V_2 [/mm] eines Würfels von maximaler Seitenlänge , der in [mm] A_2-Int(W_2) [/mm] enthalten ist.
c) Berechnen Sie für beliebiges [mm] n\in\IN [/mm] das Volumen [mm] V_n [/mm] eines Würfels von maximaler Seitenlänge, der in [mm] W_n-B_n [/mm] enthalten ist und das Volumen [mm] 'V_n [/mm] eines Würfels von maximaler Seitenlänge, der in [mm] A_n-Int(W_n) [/mm] enthalten ist.
d) Begründen oder widerlegen Sie, dass die Folge
[mm] a_n:=\bruch{'V_n}{V_n}
[/mm]
für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] konvergiert. |
Hallo,
also ich kann leider mit dieser Übungsaufgabe gar nichts anfangen, weil ich mir darunter leider gar nichts vorstellen kann und wir den Begriff "Würfel" auch nicht definiert haben. Ich wäre euch wirklich sehr dankbar, wenn ihr mir dabei helfen könnten und vielen Dank im Vorraus
Katti1712
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Do 15.10.2015 | | Autor: | Ladon |
Ein Würfel [mm] $\hat{W_n}$ [/mm] kann wie folgt definiert sein:
[mm] $\hat{W_n}=I^n$, [/mm] wobei [mm] $I\subseteq \IR$ [/mm] ein abgeschlossenes Intervall sei.
Die Zeichnungen in a) solltest du jetzt aber schaffen. 
LG
Ladon
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 19.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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