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| Aufgabe | Aus einer Urne mit a Kugeln, die von 1 bis a nummeriert sind, wird n Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.
Frage:
Wie groß muss n mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von größer als p jede Zahl mindestens einmal gezogen wird?
Gib eine allgemeine Formel dafür an. |
In Thread 606061 wird eine ähnliche Aufgabe gestellt.
Dort handelt es sich um einen Würfel, und die Wahrscheinlichkeit soll 1/2 sein.
Also a=6 und p=0.5
Als Ergebnis war bereits n=13 vorgegeben, und dieses nunmehr also schon bekannte Ergebnis sollte nur noch „bewiesen“ werden.
Aber was ist, wenn nichts vorgegeben ist, das man „beweisen“ soll? Es muss doch eine Formel geben, mit der man das n berechnen kann.
Ich habe mal versucht, eine solche Formel aufzustellen. Zumindest kommt in dem oben genannten Beispiel die gesuchte Zahl raus. Eventuell ist da aber noch eine gewisse Ungenauigkeit in der Formel.
Sie lautet:
[mm] \left(1-(\bruch{a-1}{a})^{n}\right)^{a}>p
[/mm]
Wenn diese Formel so stimmt, dann wäre alles klar. Man müsste sie jetzt nur noch nach n auflösen.
[mm] n>\bruch{ln(1-\wurzel[a]{p})}{ln\left(\bruch{a-1}{a}\right)}
[/mm]
Nun muss man nur noch "beweisen oder widerlegen", dass diese Formel zutrifft. Zumindest, dass man sie für große a anwenden kann.
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Hallo rabilein1,
Gehe ich recht in der Annahme, daß das [mm]p\![/mm] für [mm]\gamma_i\in\left[0:a-1\right][/mm] folgendermaßen aussieht?
[mm]p=\frac{\left|\left\{\left.\sum_{i=0}^{n-1}{\gamma_ia^i}\right|\bigcup_{i=0}^{n-1}{\{\gamma_i\}}=\left[0:a-1\right]\right\}\right|}{a^n}[/mm]
Hierbei ist [mm]\mathbb{Z}\supset\left[\alpha:\beta\right]:=\{\alpha,\alpha+1,\alpha+2,\dotsc,\beta-2,\beta-1,\beta\}[/mm]. [Dabei habe ich die einschränkende Annahme gemacht, daß die Indexmenge nicht beliebig ist, sondern aus benachbarten Elementen (beginnend bei 0) besteht: 0,1,...,a-1 .]
Gruß V.N.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 So 01.11.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Der Hintergrund der Formel [mm] \left(1-(\bruch{a-1}{a})^{n}\right)^{a}>p [/mm] war:
Es gibt a Ereignisse.
In a-1 von a Fällen tritt das Ereignis nicht ein.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt, ist also [mm] \bruch{a-1}{a} [/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis n Mal nicht eintritt, ist also [mm] (\bruch{a-1}{a})^{n}
[/mm]
Das Gegenereignis - also die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis mindestens ein Mal eintritt - ist dann [mm] 1-(\bruch{a-1}{a})^{n}
[/mm]
Nun geht es aber nicht nur um eine einzige Zahl, die mindestens ein Mal gezogen werden muss, sondern das muss auf alle Zahlen zutreffen.
Daher [mm] \left(1-(\bruch{a-1}{a})^{n}\right)^{a}
[/mm]
Und dieses Ereignis soll mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auftreten.
Deshalb [mm] \left(1-(\bruch{a-1}{a})^{n}\right)^{a}>p
[/mm]
Da sich allerdings die Ereignisse gegenseitig beeinflussen (nicht unabhängig voneinander sind), befürchte ich, dass da noch eine gewisse Ungenauigkeit in der Formel ist. Ob diese Ungenauigkeit den Kohl allerdings fett macht (von entscheidender Bedeutung ist), das weiß ich nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 So 01.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Ralph,
ehrlich gesagt, ich habe deine Formel in jenem Thread und auch jetzt nicht recht verstanden.
In einer Verallgemeinerung sei [mm] $A_i$ [/mm] das Ereignis, dass Kugel $i_$ mindestens einmal auftritt. Gesucht ist $ [mm] P(A_1\cap\dots\cap A_a)$. [/mm]
Wie lautet nun deine Behauptung?
[mm] $P(A_1\cap\dots\cap A_a)\ge \left(1-(\bruch{a-1}{a})^{n}\right)^{a} [/mm] $?
Oder sogar Gleichheit?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 So 01.11.2009 | | Autor: | rabilein1 |
In jenem anderen Thread wurde ja "behauptet", dass man 13 Mal würfeln müsse, um mit mindestens 50%iger Wahrscheinlichkeit jede Zahl mindestens ein Mal zu würfeln. Und diese Behauptung sollte nun "bewiesen" werden.
Aber wie kommt man auf so eine Behauptung? Genau so gut könnte ich ja sagen: "Beweisen" Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, im Lotto 4 Richtige plus Zusatzzahl zu erzielen ... tralala ... ist.
Aber derjenige, der das Tralala "behauptet", muss es doch vorher selber irgendwie ermittelt haben.
Selbst auf eine Vermutung muss man erst einmal kommen, auch wenn man sie nicht "beweisen" kann. Somit wollte ich eine Formel für so eine Vermutung aufstellen.
Zumindest stimmte ja das Ergbenis meiner Formel mit der Behauptung in dem Beispiel aus dem anderen Thread überein. Das könnte Zufall sein - ist somit also kein "Beweis". Aber zumindest ein begründeter Verdacht also so etwas wie ein weiteres Indiz dafür dass der behauptete Verdacht stimmen könnte...
Wie die Formel entstanden ist, hatte ich ja erklärt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 So 01.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin Ralph,
warum so kompliziert? $1-6/n>1/2$ liefert auch $n\ge 13$.
> Wie die Formel entstanden ist, hatte ich ja erklärt.
Muss ich hier etwas Ungeduld heraushoeren? Wie
$ P(A_1\cap\dots\cap A_a)$ mit $(1-(\bruch{a-1}{a})^{n})\right)^{a} $ zusammenhaengt bleibt m.E. unklar.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 So 01.11.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> > Wie die Formel entstanden ist, hatte ich ja erklärt.
> Muss ich hier etwas Ungeduld heraushoeren?
> Wie [mm]P(A_1\cap\dots\cap A_a)[/mm] mit
> [mm](1-(\bruch{a-1}{a})^{n})\right)^{a}[/mm] zusammenhaengt bleibt m.E. unklar.
Das hatte ich weiter oben in "Formel-Erklärung" erklärt.
Deshalb verstehe ich dein Wort "unklar" nicht.
Wenn du anstatt "unklar" geschrieben hättest "falsch"oder "unlogisch", dann hätte ich das verstanden.
Aber etwas, das erklärt wurde, kann nicht "unklar" sein.
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ZUSATZAUFGABE:
Wenn man von 1 bis 0123456788 zählt, so gibt es keine einzige Zahl, in der jede Ziffer mindestens ein Mal vorkommt.
Würde man dagegen von 1 bis [mm] 10^{1000000} [/mm] zählen, so würden sicherlich in mehr als 99% aller Zahlen alle zehn Ziffern vorkommen. (Das vermute ich einfach mal - das soll man jetzt nicht "beweisen")
Frage:
Bis wie viel müsste man zählen, damit in 50% aller Zahlen jede Ziffer mindestens ein Mal vorkommt.
Hier müsste man doch auch wieder meine ominöse Formel anwenden können...
a wäre 10 / p wäre 0.5 / und wenn man dann n hat, müsste man dann noch [mm] 10^{n} [/mm] nehmen
P.S.
Das kann durchaus falsch sein - oder zumindest sehr ungenau.
"Unklar" kann das aber nicht sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Mo 02.11.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Nach meiner Formel kommt bei meiner Zusatzaufgabe eine 256-stellige Zahl raus.
Ich weiß nicht, ob jemand (ein Super-Mathematiker oder ein Super-Computer) in der Lage ist, dieses Ergebnis zu widerlegen, zu bestätigen oder gar zu "beweisen").
Ich habe die ZUSATZAUFGABE mal manuell hinsichtlich des Dreier-Systems gemacht. Wenn alle Zahlen mit einer NULL anfangen, und man zählt bis "01210" (im Dreiersystem), dann kommen in der Hälfte aller Zahlen die Ziffern NULL, EINS und ZWEI mindestens ein Mal vor. (a=3 / p=0.5)
Nach meiner Formel hätte man jedoch zählen müssen bis "02021", um diesen Effekt zu erzielen. Es gibt also - wie vermutet - eine gewisse Ungenauigkeit.
Auf n bezogen wäre diese Ungenauigkeit jedoch sehr gering:
Richtig wäre n [mm] \approx [/mm] 3.69
Meine Formel ergibt für n [mm] \approx [/mm] 3.89
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