n-te Ableitung = Polynom? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Do 01.07.2010 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | Es sei [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] gegeben durch [mm] $f(x)=\begin{cases}e^{-\bruch{1}{x^2}};\qquad x>0\\
0;\qquad\qquad x\leq 0\end{cases}$
[/mm]
a) Zeigen Sie mit Vollständiger Induktion, dass es für die $n$-te Ableitung von $f$ ein Polynom [mm] $P\in\IR[X]$ [/mm] gibt, so dass für $x>0$ gilt:
[mm] $\qquad\bruch{\partial^nf}{\partial x^n}(x)=P(\bruch{1}{x})*f(x)$
[/mm]
b) Folgern Sie, dass $f$ beliebig oft differenzierbar ist.
c) Geben Sie die Taylor-Reihe für $f$ am Entwicklungspunkt $x=0$ an. |
Hallo,
diese Aufgabe muss ich zur Bewertung abgeben und sie bereitet mir immense Probleme. Teil c) müsste ich hinbekommen, aber dazu fehlen mir natürlich die Ableitungen aus Teil a).
Ganz ehrlich, zu a) und b) habe ich gar keine Idee. Wer kann mir helfen?
Vielen Dank im Voraus!
(Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt.)
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Hallo MasterEd,
> Es sei [mm]$f:\IR\to\IR$[/mm] gegeben durch
> [mm]$f(x)=\begin{cases}e^{-\bruch{1}{x^2}};\qquad x>0\\
0;\qquad\qquad x\leq 0\end{cases}$[/mm]
Diese Funktion ist das Standardbeispiel für eine unendlich oft differenzierbare Funktion (insbesondere unendlich oft differenzierbar in 0 !), deren Taylor-Reihe um 0 trotzdem die Funktion nirgends außer in 0 darstellt.
Du wirst herausbekommen, dass die Taylor-Reihe die Nullfunktion ist.
> a) Zeigen Sie mit Vollständiger Induktion, dass es für
> die [mm]n[/mm]-te Ableitung von [mm]f[/mm] ein Polynom [mm]P\in\IR[X][/mm] gibt, so
> dass für [mm]x>0[/mm] gilt:
>
> [mm]\qquad\bruch{\partial^nf}{\partial x^n}(x)=P(\bruch{1}{x})*f(x)[/mm]
>
> b) Folgern Sie, dass [mm]f[/mm] beliebig oft differenzierbar ist.
> c) Geben Sie die Taylor-Reihe für [mm]f[/mm] am Entwicklungspunkt
> [mm]x=0[/mm] an.
> Hallo,
>
> diese Aufgabe muss ich zur Bewertung abgeben und sie
> bereitet mir immense Probleme. Teil c) müsste ich
> hinbekommen, aber dazu fehlen mir natürlich die
> Ableitungen aus Teil a).
>
> Ganz ehrlich, zu a) und b) habe ich gar keine Idee. Wer
> kann mir helfen?
Das nehme ich dir nicht ab. Du wirst ja wohl ableiten können!
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In a) sollst du nur die Funktion für den Fall [mm] x\not= [/mm] 0 betrachten.
Dann ist $f(x) = [mm] \exp(-\frac{1}{x^{2}})$.
[/mm]
Nun bilde für den Induktionsanfang $f'(x)$ und zeige, dass die Ableitung die gewünschte Form hat.
Für den Induktionsschritt darfst du annehmen, dass die n-te Ableitung der Funktion die obige Form hat, also
[mm] $f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] p(\frac{1}{x})*f(x) [/mm] = [mm] p(\frac{1}{x})*\exp(-\frac{1}{x^{2}})$
[/mm]
ist. Nun leite die Funktion ab, und zeige, dass auch die (n+1)-te Ableitung wieder der Bedingung genügt.
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Dass die Funktion f(x) in [mm] x\not= [/mm] 0 unendlich oft differenzierbar ist, ist klar (du hast ja oben auch die Ableitungen berechnet).
Es bleibt zu zeigen, dass f in x = 0 differenzierbar ist. Jetzt, da du die Form von [mm] f^{(n)}(x) [/mm] kennst, kannst du dies über die Definition von Differenzierbarkeit nachprüfen:
Damit [mm] f^{(n)}(x) [/mm] in x = 0 differenzierbar, muss der Limes
[mm] $f^{(n+1)}(0) [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{f^{(n)}(0+h)-f^{(n)}(0)}{h}$
[/mm]
existieren. Wir wissen schon, dass für n = 0 gilt: [mm] $f^{(n)}(0) [/mm] = f(0) = 0$, dass f also sozusagen "0-mal" differenzierbar in x=0. Das ist der Induktionsanfang.
Im Induktionsschritt nehmen wir an, dass f eben n-mal differenzierbar ist mit [mm] $f^{(n)}(0) [/mm] = 0$.
Dann erhalten wir:
[mm] $f^{(n+1)}(0) [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{f^{(n)}(0+h)-f^{(n)}(0)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{f^{(n)}(h)}{h} [/mm] = ...$
Nun benutze a), danach den Limes berechnen.
Grüße,
Stefan
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