n-te Ableitung, Rekursionsform < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich habe die Funktion [mm] $f(z):=e^{\frac{z}{1-z}}$. [/mm] Da ich diese Funktion in eine Taylorreihe entwickeln moechte, suche ich eine Darstellung (bzw. Rekursionsformel) fuer die $n$-te Ableitung dieser Funktion. Natuerlich darf $z$ nur aus [mm] $\IC\backslash\{1\}$ [/mm] sein. Hat jemand eine Idee fuer eine solche Darstellung?
Danke und Gruss
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Hallo Denny!
Für welchen Entwicklungspunkt willst Du denn die Reihe aufstellen?
Ansonsten bleibt wirklich erstmal probieren und die ersten Ableitungen ermitteln, um eine eventuelle Regelmäßigkeit bzw. Gesetzmäßigkeit entdecken zu können.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
der Entwicklungspunkt soll $0$ sein. Damit Du nicht die Zeit mit der Berechnung der ersten Ableitungen verschwenden musst, gebe ich sie mal an:
[mm] $f^{(0)}(z)=e^{\frac{z}{1-z}}$
[/mm]
[mm] $f^{(1)}(z)=\frac{1}{(1-z)^2}f(z)$
[/mm]
[mm] $f^{(2)}(z)=\frac{3-2z}{(1-z)^4}f(z)$
[/mm]
[mm] $f^{(3)}(z)=\frac{13-18z+6z^2}{(1-z)^6}f(z)$
[/mm]
[mm] $f^{(4)}(z)=\frac{73-156z+108z^2z^3}{(1-z)^8}f(z)$
[/mm]
[mm] $f^{(5)}(z)=\frac{4051-15030z+21900z^2-15600z^3+5400z^4-720z^5}{(1-z)^{10}}f(z)$
[/mm]
u.s.w. Ich sehe, dass irgendwie
[mm] $f^{(n)}(z)=\frac{P_n(z)}{((1-z)^2)^n}f(z)$
[/mm]
gelten muss. Aber wie erhalte ich eine Darstellung von [mm] $P_n(z)$ [/mm] ?
Danke und Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Denny!
Ich habe diese Ableitungen nicht nachgerechnet. Aber wenn Du nun jeweils $z \ = \ 0$ einsetzt, vereinfachen sich die Ausdrücke drastisch.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Mit 0 eingesetzt wären die ersten 15 Ableitungen (0 ist f(0)):
0: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 1
1: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 1
2: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 3
3: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 13
4: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 73
5: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 501
6: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 4051
7: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 37633
8: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 394353
9: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 4596553
10: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 58941091
11: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 824073141
12: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 12470162233
13: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 202976401213
14: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 3535017524403
15: x [mm] {\mapsto}\ [/mm] 65573803186921
Sieht aus aus, als würde es annähernd faktoriell ansteigen, wenn es dir hilft.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Ich danke Euch fuer die Mitteilungen. Leider erhalte ich daraus immer noch keine Rekursionsformel. Daher waere es schoen, wenn mir jemand Bescheid geben koennte, wenn Ihm oder Ohr noch etwas einfaellt.
Danke und Gruss
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Hallo Denny22,
> Hallo,
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> der Entwicklungspunkt soll [mm]0[/mm] sein. Damit Du nicht die Zeit
> mit der Berechnung der ersten Ableitungen verschwenden
> musst, gebe ich sie mal an:
>
> [mm]f^{(0)}(z)=e^{\frac{z}{1-z}}[/mm]
> [mm]f^{(1)}(z)=\frac{1}{(1-z)^2}f(z)[/mm]
> [mm]f^{(2)}(z)=\frac{3-2z}{(1-z)^4}f(z)[/mm]
> [mm]f^{(3)}(z)=\frac{13-18z+6z^2}{(1-z)^6}f(z)[/mm]
> [mm]f^{(4)}(z)=\frac{73-156z+108z^2z^3}{(1-z)^8}f(z)[/mm]
>
> [mm]f^{(5)}(z)=\frac{4051-15030z+21900z^2-15600z^3+5400z^4-720z^5}{(1-z)^{10}}f(z)[/mm]
>
> u.s.w. Ich sehe, dass irgendwie
> [mm]f^{(n)}(z)=\frac{P_n(z)}{((1-z)^2)^n}f(z)[/mm]
> gelten muss. Aber wie erhalte ich eine Darstellung von
> [mm]P_n(z)[/mm] ?
Differenziere jetzt den Ansatz und Du erhältst dann eine ebensolche Darstellung.
Daraus ergibt sich dann die Rekursionsformel für [mm]P_{n}\left(z\right)[/mm].
>
> Danke und Gruss
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo Denny22,
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> > Hallo,
> >
> > der Entwicklungspunkt soll [mm]0[/mm] sein. Damit Du nicht die Zeit
> > mit der Berechnung der ersten Ableitungen verschwenden
> > musst, gebe ich sie mal an:
> >
> > [mm]f^{(0)}(z)=e^{\frac{z}{1-z}}[/mm]
> > [mm]f^{(1)}(z)=\frac{1}{(1-z)^2}f(z)[/mm]
> > [mm]f^{(2)}(z)=\frac{3-2z}{(1-z)^4}f(z)[/mm]
> > [mm]f^{(3)}(z)=\frac{13-18z+6z^2}{(1-z)^6}f(z)[/mm]
> > [mm]f^{(4)}(z)=\frac{73-156z+108z^2z^3}{(1-z)^8}f(z)[/mm]
> >
> >
> [mm]f^{(5)}(z)=\frac{4051-15030z+21900z^2-15600z^3+5400z^4-720z^5}{(1-z)^{10}}f(z)[/mm]
> >
> > u.s.w. Ich sehe, dass irgendwie
> > [mm]f^{(n)}(z)=\frac{P_n(z)}{((1-z)^2)^n}f(z)[/mm]
> > gelten muss. Aber wie erhalte ich eine Darstellung von
> > [mm]P_n(z)[/mm] ?
>
>
> Differenziere jetzt den Ansatz und Du erhältst dann eine
> ebensolche Darstellung.
>
> Daraus ergibt sich dann die Rekursionsformel für
> [mm]P_{n}\left(z\right)[/mm].
Hallo MathePower ,
leider verstehe ich nicht ganz was Du mir versuchst mitzuteilen. Könntest Du mir das genauer erklären?
Danke & Gruß Denny
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Hallo Denny22,
> > Hallo Denny22,
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > der Entwicklungspunkt soll [mm]0[/mm] sein. Damit Du nicht die Zeit
> > > mit der Berechnung der ersten Ableitungen verschwenden
> > > musst, gebe ich sie mal an:
> > >
> > > [mm]f^{(0)}(z)=e^{\frac{z}{1-z}}[/mm]
> > > [mm]f^{(1)}(z)=\frac{1}{(1-z)^2}f(z)[/mm]
> > > [mm]f^{(2)}(z)=\frac{3-2z}{(1-z)^4}f(z)[/mm]
> > > [mm]f^{(3)}(z)=\frac{13-18z+6z^2}{(1-z)^6}f(z)[/mm]
> > >
> [mm]f^{(4)}(z)=\frac{73-156z+108z^2z^3}{(1-z)^8}f(z)[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]f^{(5)}(z)=\frac{4051-15030z+21900z^2-15600z^3+5400z^4-720z^5}{(1-z)^{10}}f(z)[/mm]
> > >
> > > u.s.w. Ich sehe, dass irgendwie
> > > [mm]f^{(n)}(z)=\frac{P_n(z)}{((1-z)^2)^n}f(z)[/mm]
> > > gelten muss. Aber wie erhalte ich eine Darstellung
> von
> > > [mm]P_n(z)[/mm] ?
> >
> >
> > Differenziere jetzt den Ansatz und Du erhältst dann eine
> > ebensolche Darstellung.
> >
> > Daraus ergibt sich dann die Rekursionsformel für
> > [mm]P_{n}\left(z\right)[/mm].
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> Hallo MathePower ,
>
> leider verstehe ich nicht ganz was Du mir versuchst
> mitzuteilen. Könntest Du mir das genauer erklären?
Gemäß Quotientenregel gilt für die Ableitung:
[mm]f^{n+1}\left(z\right)=\bruch{\left( \ P_{n}\left(z\right)*f\left(z\right) \ \right)'*\left(1-z\right)^{2n}-P_{n}\left(z\right)*f\left(z\right)*\left(\ \left(1-z\right)^{2n}\ \right)'}{\left(1-z\right)^{4n}}[/mm]
Und daraus mußt Du jetzt eine Rekursionsformel für [mm]P_{n}[/mm] bauen.
Bringe also [mm]f^{n+1}\left(z\right)[/mm] auf die Form [mm]\bruch{P_{n+1}\left(z\right)}{\left(1-z\right)^{2n+2}}*f\left(z\right)[/mm]
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> Danke & Gruß Denny
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Das hat mir sehr weitergeholfen. MathePower, ich danke Dir vielmals!
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