n-te Ableitung eines Polynoms < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Fr 02.12.2011 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Man zeige: die n-te Ableitung des Polynoms vom Grad n,
[mm] p(x)=a(n)*x^{n}+a(n-1)*x^{n-1}+...+a(1)*x+a(0)
[/mm]
ist konstant. Wie lautet die Konstante? |
hallo meine lieben,
gegeben ist die oben genannte aufgabe. hier mein lösungsansatz:
[mm] p^{n}(x)=a(n)(x)^{m}+a(n-1)(x^{n-1})^{n}+...
[/mm]
wobei [mm] x^{m}=x^{n!}
[/mm]
nun die erste ableitung:
[mm] (x^{m})'= mx^{m-1} [/mm] für m=1,2,.... oder =0 für m=0
[mm] (x^{m})'' [/mm] = [mm] m(m-1)x^{m-2} [/mm] für m=2,3,... oder =0 für m=0,1
[mm] (x^{m})^{k} =m(m-1)...(m-(k-1))x^{m-k} [/mm] für m=k,k+1,.. oder =0 für m=0,..,k-1 ; wobei [mm] (m-(k-1))x^{m-k}=1 [/mm] für m=k
für mich sieht dies so aus als würde die konstante n!*a(n) lauten. jedoch kann ich dies nicht mittels "formeln" zeigen. habt ihr vielleicht eine idee ? würde mich sehr freuen.
Liebe grüße :))
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Hallo meely,
> Man zeige: die n-te Ableitung des Polynoms vom Grad n,
> [mm]p(x)=a(n)*x^{n}+a(n-1)*x^{n-1}+...+a(1)*x+a(0)[/mm]
> ist konstant. Wie lautet die Konstante?
> hallo meine lieben,
>
> gegeben ist die oben genannte aufgabe. hier mein
> lösungsansatz:
>
> [mm]p^{n}(x)=a(n)(x)^{m}+a(n-1)(x^{n-1})^{n}+...[/mm]
>
> wobei [mm]x^{m}=x^{n!}[/mm]
Kannst du das mal näher erklären?!
Wieso gehst du nicht von dem Polynom in allg. Form aus wie in der Aufgabenstellung?
> nun die erste ableitung:
>
> [mm](x^{m})'= mx^{m-1}[/mm] für m=1,2,.... oder =0 für m=0
> [mm](x^{m})''[/mm] = [mm]m(m-1)x^{m-2}[/mm] für m=2,3,... oder =0 für
> m=0,1
> [mm](x^{m})^{k} =m(m-1)...(m-(k-1))x^{m-k}[/mm] für m=k,k+1,..
> oder =0 für m=0,..,k-1 ; wobei [mm](m-(k-1))x^{m-k}=1[/mm] für
> m=k
>
>
> für mich sieht dies so aus als würde die konstante
> n!*a(n) lauten. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jedoch kann ich dies nicht mittels
> "formeln" zeigen. habt ihr vielleicht eine idee ? würde
> mich sehr freuen.
Ich würde spontan sagen: Induktion über den Grad des Polynoms, also n
>
> Liebe grüße :))
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Fr 02.12.2011 | | Autor: | meely |
vielen dank für deine schnelle antwort schachuzipus :)
> >
> > [mm]p^{n}(x)=a(n)(x)^{m}+a(n-1)(x^{n-1})^{n}+...[/mm]
> >
> > wobei [mm]x^{m}=x^{n!}[/mm]
>
>
> Kannst du das mal näher erklären?!
>
> Wieso gehst du nicht von dem Polynom in allg. Form aus wie
> in der Aufgabenstellung?
dachte, dass es mir hilft die aufgabe zu lösen..
wenn ich ehrlich bin, fällt mir gerade erst auf dass es mit dem polynom aus der aufgabenstellung genau gleich funktioniert ^^ also war dieser schritt ziemlich unnötig von mir. *peinlich*
> > für mich sieht dies so aus als würde die konstante
> > n!*a(n) lauten.
>
> > jedoch kann ich dies nicht mittels
> > "formeln" zeigen. habt ihr vielleicht eine idee ? würde
> > mich sehr freuen.
>
> Ich würde spontan sagen: Induktion über den Grad des
> Polynoms, also n
diese idee wäre mir auch gekommen, jedoch haben wir in dieser vorlesung induktion noch nicht gelernt (werden wahrscheinlich auch in zukunft keine beweistechniken einführen, weil diese vorlesung sich mit der mathematik in der physik beschäftigt. Analysis haben wir eine eigene vorlesung). habe ich leider nicht erwähnt. hast du vielleicht noch eine andere idee als induktion, bzw. wie würdest du es zeigen?
liebe grüße meely
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Fr 02.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du machst ne Induktion in Worten: Bei jeder ableitung vermindert sich jede Potens von x um 1 [mm] (x^n)'=n*x^{n-1}
[/mm]
deshalb bleibt nach n mal differenzieren....
bl bla bla.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 So 04.12.2011 | | Autor: | meely |
okay :) vielen dank :)
Liebe Grüße Meely
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