n-te Potenzen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | | Wenn [mm] $c^n=ab$ [/mm] ($a,b,c,n [mm] \in\IN$ [/mm] und [mm] $\ggT(a,b)=1$) [/mm] dann sind $a$ und $b$ $n$-te Potenzen natürlicher Zahlen. |
Ich habe mir zuerst überlegt, ich zerlege [mm] c^n [/mm] in Primfaktoren
[mm] c^n=(p_1^{\alpha_1}*...*p_k^{\alpha_k})^n
[/mm]
Nun könnte ich annehmen,der ggT sei nicht 1 und das zu einem Widerspruch führen?
|
|
| |
|
> Wenn [mm]c^n=ab[/mm] (a,b,c,n [mm]\in\IN[/mm] und ggT(a,b)=1) dann sind a und
> b n-te Potenzen natürlicher Zahlen
> Ich habe mir zuerst überlegt, ich zerlege [mm]c^n[/mm] in
> Primfaktoren
>
> [mm]c^n=(p_1^{\alpha_1}*...*p_k^{\alpha_k})^n[/mm]
>
> Nun könnte ich annehmen,der ggT sei nicht 1 und das zu
> einem Widerspruch führen?
Primfaktorzerlegung ist jedenfalls ein guter Ansatz.
Wenn ggT(a,b)=1, so bedeutet dies, dass a und b
keinen gemeinsamen Primfaktor haben.
Betrachte nun auch die Primfaktorzerlegungen von
a und b. Wenn du dann auch noch die Eindeutigkeit
der PFZ benützt (für [mm] c^n [/mm] bzw. ab), dann kommst du
leicht zum Ziel. Wichtig ist vor allem, den Gedanken-
gang des Beweises klar rüberzubringen; komplizierte
Rechnungen sind jedenfalls nicht erforderlich.
Auch ein "Widerspruchsbeweis" ist nicht nötig, denn
es geht auch ganz "direkt".
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Lonpos |
Also, die PFZ für a und b müssten doch, o.B.d.A:
[mm] a=(p_1^{\alpha_1*n}\cdot{}...\cdot{}p_i^{\alpha_n*n})
[/mm]
[mm] b=(p_{i+1}^{\alpha_1*n}\cdot{}...\cdot{}p_k^{\alpha_n*n})
[/mm]
[mm] p_1*...*p_i [/mm] ist eine ganze Zahl und daher a eine n-te Potenz einer ganzen Zahl.
Für b das Selbige.
Könnte man das so machen?
|
|
|
| |
|
moin,
> Also, die PFZ für a und b müssten doch, o.B.d.A:
>
> [mm]a=(p_1^{\alpha_1*n}\cdot{}...\cdot{}p_i^{\alpha_n*n})[/mm]
>
> [mm]b=(p_{i+1}^{\alpha_1*n}\cdot{}...\cdot{}p_k^{\alpha_n*n})[/mm]
Zum OBdA solltest du vielleicht noch 1-2 Worte sagen, aber ansonsten sieht das gut aus.
> [mm]p_1*...*p_i[/mm] ist eine ganze Zahl und daher a eine n-te
> Potenz einer ganzen Zahl.
>
> Für b das Selbige.
>
> Könnte man das so machen?
>
Jo, das sollte so gehen.
Der Vollständigkeit halber aber noch:
Haben alle natürlichen Zahlen eine PFZ?
Du müsstest noch begründen, wieso die Aussage auch für solche $a,b,c$ gilt, die keine PFZ haben.
lg
Schadowmaster
|
|
|
| |
|
> Also, die PFZ für a und b müssten doch, o.B.d.A:
>
> [mm]a=(p_1^{\alpha_1*n}\cdot{}...\cdot{}p_i^{\alpha_n*n})[/mm]
>
> [mm]b=(p_{i+1}^{\alpha_1*n}\cdot{}...\cdot{}p_k^{\alpha_n*n})[/mm]
>
> [mm]p_1*...*p_i[/mm] ist eine ganze Zahl und daher a eine n-te
> Potenz einer ganzen Zahl. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
> Für b das Selbige.
>
> Könnte man das so machen?
Nein.
Wir haben doch die Gleichung [mm] c^n=a*b
[/mm]
Wenn du nun mal einfach die PFZ von a hinschreiben
willst, so nimmst du das zu Beweisende schon voraus,
wenn du annimmst, dass diese schon schön gebündelte
n-te Potenzen von Primzahlen enthält !
Um die Schreibweisen nicht zu kompliziert zu machen,
können wir (für alle 3 betrachteten PFZ) davon ausgehen,
dass [mm] p_1=2, p_2=3, p_3=5, [/mm] ... (einfach alle Primzahlen
in ihrer natürlichen Abfolge). k sei die größte in den
Darstellungen nötige Primzahlnummer.
Wir erhalten so eine sehr einfache Darstellung - mit
dem Preis, dass viele der verwendeten Primzahlex-
ponenten gleich 0 sein werden !
Dann haben wir z.B.:
$\ a\ =\ [mm] \prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}$
[/mm]
$\ b\ =\ [mm] \prod_{i=1}^{k}p_i^{\beta_i}$
[/mm]
$\ c\ =\ [mm] \prod_{i=1}^{k}p_i^{\gamma_i}$
[/mm]
$\ [mm] c^n\ [/mm] =\ [mm] \prod_{i=1}^{k}p_i^{n*\gamma_i}$
[/mm]
Aus der Gleichung [mm] c^n=a*b [/mm] und der Eindeutigkeit der PFZ
folgt nun, dass
$\ [mm] n*\gamma_i\ [/mm] =\ [mm] \alpha_i+\beta_i$ [/mm] (für alle i)
Nun führen wir die Bedingung ein, dass a und b teiler-
fremd sind. Was genau kann man nun daraus für obige
Darstellungen schließen ?
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Lonpos |
Da wir wissen, dass ggT(a,b)=1, muss das für die Primfaktorzerlegungen bedeuten, dass sie keine gemeinsamen Primzahlen in der Zerlgeung haben.
Das würde für die [mm] \alpha_i [/mm] und [mm] \beta_i [/mm] bedeuten (wenn ich es richtig sehe), dass wenn z.B [mm] \alpha_1=5, [/mm] dann muss [mm] \beta_i=0, [/mm] also einmal ist einer der Werte 0 und gleichzeitig der andere auch 0 oder eine von 0 verschiedene Zahl.
Ich erkenne aber noch cniht die Folgerung, dass a und b nun n-te Potenzen sein müssen.
|
|
|
| |
|
> Da wir wissen, dass ggT(a,b)=1, muss das für die
> Primfaktorzerlegungen bedeuten, dass sie keine gemeinsamen
> Primzahlen in der Zerlgeung haben.
Richtig.
> Das würde für die [mm]\alpha_i[/mm] und [mm]\beta_i[/mm] bedeuten (wenn ich
> es richtig sehe), dass wenn z.B [mm]\alpha_1=5,[/mm] dann muss
> [mm]\beta_i=0,[/mm] also einmal ist einer der Werte 0 und
> gleichzeitig der andere auch 0 oder eine von 0 verschiedene
> Zahl.
O.K.
Aus [mm] \alpha_i\not=0 [/mm] folgt [mm] \beta_i=0 [/mm] und aus [mm] \beta_i\not=0 [/mm] folgt [mm] \alpha_i=0
[/mm]
> Ich erkenne aber noch nicht die Folgerung, dass a und b nun
> n-te Potenzen sein müssen.
Wir haben ja: $ \ [mm] n\cdot{}\gamma_i\ [/mm] =\ [mm] \alpha_i+\beta_i [/mm] $
Für jedes i, das in der PFZ von a überhaupt auftritt (also
mit [mm] \alpha_i\not=0 [/mm] ) folgt nun [mm] \beta_i=0 [/mm] und damit
[mm] \alpha_i=n*\gamma_i [/mm] .
Damit sind wir praktisch am Ziel !
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Lonpos |
Danke für die Erläuterung.
|
|
|
|
