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| Aufgabe | a) Wieso wird bei der Definition der n-ten Wurzel [mm] $\wurzel[n]{a}$ [/mm] mit $n [mm] \in \IN$ [/mm] normalerweise verlangt, dass $a [mm] \ge [/mm] 0$ sein muss, obwohl doch für ungerade n die Potenzfunktion $ [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto x^{n}$ [/mm] in ganz [mm] $\IR$ [/mm] umkehrbar ist?
b) Zeigen Sie für beliebige natürliche Zahlen k und n, dass aus [mm] $\wurzel[n]{k} \in \IQ$ [/mm] stets [mm] $\wurzel[n]{k} \in \IN$ [/mm] folgt.
c) Es seien p und q zwei Primzahlen. Wann sind [mm] $\wurzel{p} [/mm] + [mm] \wurzel{q}$ [/mm] bzw. [mm] $\wurzel{p} \cdot \wurzel{q}$ [/mm] irrational? |
Hallo zusammen,
zu a) und b) habe ich schon Ideen, für die ich gerne Rückmeldungen hätte, ob ich richtig denke...
zu a): $a [mm] \ge [/mm] 0$ wird verlangt, da [mm] $\wurzel[n]{a}$ [/mm] dann für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] definiert ist. Würde man $a < 0$ zulassen, dann wäre [mm] $\wurzel[n]{a}$ [/mm] nur noch für alle ungeraden $n [mm] \in \IN$ [/mm] definiert. Da aber [mm] $\wurzel[n]{a}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] definiert sein soll, muss die Einschränkung $a [mm] \ge [/mm] 0$ gemacht werden.
zu b): [mm] $\wurzel[n]{k} \in \IQ \Rightarrow \wurzel[n]{k} [/mm] = [mm] \bruch{p}{q}$ [/mm] mit $p,q [mm] \in [/mm] IZ$ [benötige ich $ggt(p,q) = 1$???]
[mm] $\wurzel[n]{k} [/mm] = [mm] \bruch{p}{q} \Rightarrow [/mm] k = [mm] (\bruch{p}{q})^{n} [/mm] = [mm] \bruch{p^n}{q^n} \in \IN$
[/mm]
Wie komme ich denn jetzt hier weiter? Kann ich durch [mm] $\bruch{p^n}{q^n} \in \IN$ [/mm] etwas über [mm] $p^n, q^n$ [/mm] aussagen und dann auf p und q zurückschließen?
zu c) habe ich momentan leider noch gar keine Idee... Vielleicht kann mir ja jemand bei einem Ansatz helfen...
LG fagottator
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> a) Wieso wird bei der Definition der n-ten Wurzel
> [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] mit [mm]n \in \IN[/mm] normalerweise verlangt, dass [mm]a \ge 0[/mm]
> sein muss, obwohl doch für ungerade n die Potenzfunktion
> [mm]\IR \to \IR[/mm], [mm]x \mapsto x^{n}[/mm] in ganz [mm]\IR[/mm] umkehrbar ist?
>
> b) Zeigen Sie für beliebige natürliche Zahlen k und n,
> dass aus [mm]\wurzel[n]{k} \in \IQ[/mm] stets [mm]\wurzel[n]{k} \in \IN[/mm]
> folgt.
>
> c) Es seien p und q zwei Primzahlen. Wann sind [mm]\wurzel{p} + \wurzel{q}[/mm]
> bzw. [mm]\wurzel{p} \cdot \wurzel{q}[/mm] irrational?
> Hallo zusammen,
>
> zu a) und b) habe ich schon Ideen, für die ich gerne
> Rückmeldungen hätte, ob ich richtig denke...
>
> zu a): [mm]a \ge 0[/mm] wird verlangt, da [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] dann für
> alle [mm]n \in \IN[/mm] definiert ist. Würde man [mm]a < 0[/mm] zulassen,
> dann wäre [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] nur noch für alle ungeraden [mm]n \in \IN[/mm]
> definiert. Da aber [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> definiert sein soll, muss die Einschränkung [mm]a \ge 0[/mm]
> gemacht werden.
würde ich auch so sehen
>
> zu b): [mm]\wurzel[n]{k} \in \IQ \Rightarrow \wurzel[n]{k} = \bruch{p}{q}[/mm]
> mit [mm]p,q \in IZ[/mm] [benötige ich [mm]ggt(p,q) = 1[/mm]???]
ja. ist auch kein problem, da jede rationale zahl so darstellbar ist
>
> [mm]\wurzel[n]{k} = \bruch{p}{q} \Rightarrow k = (\bruch{p}{q})^{n} = \bruch{p^n}{q^n} \in \IN[/mm]
>
> Wie komme ich denn jetzt hier weiter? Kann ich durch
> [mm]\bruch{p^n}{q^n} \in \IN[/mm] etwas über [mm]p^n, q^n[/mm] aussagen und
> dann auf p und q zurückschließen?
sind p und q teilerfremd, so auch [mm] p^n [/mm] und [mm] q^n. [/mm] soll der quotient in [mm] \IN [/mm] sein, muss [mm] q^n=1 [/mm] sein.
>
> zu c) habe ich momentan leider noch gar keine Idee...
> Vielleicht kann mir ja jemand bei einem Ansatz helfen...
der zweite teil kann mit b) gelöst werden.
und für den ersten teil kannst du den ausdruck quadrieren ....
>
> LG fagottator
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