n^3-n teilbar durch 6 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Do 13.11.2008 | | Autor: | Jojo123 |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptung:
Für alle [mm] n\in\IN_0 [/mm] gilt: [mm] n^3 [/mm] - n ist durch 6 teilbar. |
Hallo Forum,
ich habe mir überlegt, die oben genannte Behauptung mithilfe eines Induktiven Beweises zu überprüfen.
Nun aber meine Frage, bereits beim ersten Schritt, in dem ich n=0 setze erhalte ich ja die Aussage, dass 0 durch 6 teilbar ist (bei n=1 ja auch).
Kann ich dies trotzdem als ersten Induktionsschritt nutzen, oder würdet Ihr dann lieber mit n=2 anfangen und die n=0 und n=1 zu den Vorraussetzungen schreiben?
Grüße und Danke im Vorraus
Jochen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptung:
> Für alle [mm]n\in\IN_0[/mm] gilt: [mm]n^3[/mm] - n ist durch 6 teilbar.
> Hallo Forum,
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> ich habe mir überlegt, die oben genannte Behauptung
> mithilfe eines Induktiven Beweises zu überprüfen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
naja, bevor ich mich an einen Beweis durch Induktion machen würde, würde ich erstmal für ein paar konkrete n testen, ob die Aussage überaupt stimmen könnte.
Das sieht aber stark danach aus, ich hab' mal 2,3,50 eingesetzt.
Widerlegen würde man durch ein Gegenbeispiel, beweisen könnte man mit Induktion.
"Prüfen" mit Induktion könnte schwierig werden, denn wenn man keine Induktion hinbekommt, könnte das ja verschiedene Ursachen haben.
> Nun aber meine Frage, bereits beim ersten Schritt, in dem
> ich n=0 setze erhalte ich ja die Aussage, dass 0 durch 6
> teilbar ist (bei n=1 ja auch).
>
> Kann ich dies trotzdem als ersten Induktionsschritt nutzen,
Ja. Es stimmt ja. Du kannst ruhig mit n=0 anfangen.
Das war's schon?
Gruß v. Angela
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Was du schon geleistet hast, ist die Induktionsverankerung.
Fehlt noch der Schritt von n auf n+1. Du müsstest also
zeigen:
Falls [mm] f(n)=n^3-n [/mm] durch 6 teilbar ist, dann ist auch f(n+1)
durch 6 teilbar. Dazu betrachtest du am besten die
Differenz f(n+1)-f(n) .
Du könntest auch einen Beweis ohne v.I. versuchen.
Tipp: man kann den Term f(n) prima faktorisieren !
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Do 13.11.2008 | | Autor: | Jojo123 |
Hallo,
danke für die schnellen Antworten. Ich werde mich gleich mal dran machen und versuchen die Aufgabe zu lösen.
Erstmal versuche ich die v.I., aber das mit der Faktorisierung schaue ich mir auch noch an.
Grüße
Jochen
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