n bestimmen X-Bi(n,p) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Mo 06.09.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | | Sei X Bi(n,0.2). Es ist bekannt, dass P(X >= 300) = 0.3. Bestimmen Sie n. |
Hallo,
Irgendwie komme ich mit dieser Aufgabe nicht klar.
Mein Ansatz war:
P(X >= 300) = 1- P(X < 300) = [mm] \summe_{i=1}^{299} \vektor{n\\i}*0.2^{i}*0.8^{n-i}
[/mm]
Das bringt mich aber irgendwie nicht weiter, da ich es nicht nach n auflösen kann (innert nützlicher Frist). Andererseits dachte ich, dass der Wert von P (X>=300) vielleicht mit der Normalverteilung approximiert wurde? Wäre das ein möglicher Weg?
Vielen Dank!
Liebe Grüsse,
Natascha
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Hallo Natascha,
hmm.
> Sei X Bi(n,0.2). Es ist bekannt, dass P(X >= 300) = 0.3.
> Bestimmen Sie n.
> Hallo,
>
> Irgendwie komme ich mit dieser Aufgabe nicht klar.
> Mein Ansatz war:
> P(X >= 300) = 1- P(X < 300) = [mm]\summe_{i=1}^{299} \vektor{n\\
i}*0.2^{i}*0.8^{n-i}[/mm]
>
> Das bringt mich aber irgendwie nicht weiter, da ich es
> nicht nach n auflösen kann (innert nützlicher Frist).
Na, wenn überhaupt!
> Andererseits dachte ich, dass der Wert von P (X>=300)
> vielleicht mit der Normalverteilung approximiert wurde?
> Wäre das ein möglicher Weg?
Ja, ganz bestimmt. So findest jedenfalls schon einmal die richtige Größenordnung für n (und hier sogar sehr nah dran).
Wenn Du über einen Langzahlenrechner verfügst, kannst Du dann Dein Ergebnis noch unwesentlich verfeinern, ansonsten müsstest Du die größeren Fakultäten mit der Stirling-Formel approximieren, die zwar ziemlich genau ist - aber andererseits reicht dann Deine erste Abschätzung über die Normalverteilung sicher völlig aus.
Mit anderen Worten: gut überlegt, genau so gehts.
> Vielen Dank!
> Liebe Grüsse,
> Natascha
Gern doch. 
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Di 07.09.2010 | | Autor: | natascha |
Hi,
Jetzt ist jedoch wieder das Problem, dass ich noch nicht so sattelfest bin mit der Approximierung der Binomialverteilung an die Normalverteilung:
Ich muss also in diesem Fall
P( X >= 300) = 1 - P( X < 300) = 1 - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2*\pi*n*0.2*0.8}}*e^{-\bruch{(300-0.2*n)^{2}}{2*n*0.2*0.8}}
[/mm]
berechnen, oder?
Jedoch denke ich mir, dass das auch nicht sehr einfach nach n aufzulösen ist...
Oder habe ich da etwas falsch verstanden?
Vielen Dank!
Viele Grüsse,
Natascha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Di 07.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> Jetzt ist jedoch wieder das Problem, dass ich noch nicht so
> sattelfest bin mit der Approximierung der
> Binomialverteilung an die Normalverteilung:
> Ich muss also in diesem Fall
> P( X >= 300) = 1 - P( X < 300) = 1 -
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2*\pi*n*0.2*0.8}}*e^{-\bruch{(300-0.2*n)^{2}}{2*n*0.2*0.8}}[/mm]
> berechnen, oder?
> Jedoch denke ich mir, dass das auch nicht sehr einfach
> nach n aufzulösen ist...
> Oder habe ich da etwas falsch verstanden?
>
> Vielen Dank!
>
> Viele Grüsse,
>
> Natascha
Hallo,
gehe von Beginn an zur Normalverteilung über.
Der rechte Teil der Glockenkurve soll den Inhalt 0,3 haben, also hat der linke Teil den Inhalt 0,7. Der Wert 0,7 wird laut Tabelle bei 0,53 angenommen.
Das bedeutet, dass die Fläche von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \mu+0,53*\sigma [/mm] geht. Laut Aufgabenstellung ist [mm] \sigma=0,2.
[/mm]
Hilft das weiter?
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Di 07.09.2010 | | Autor: | natascha |
Hallo,
Danke für deine Antwort.
> gehe von Beginn an zur Normalverteilung über.
> Der rechte Teil der Glockenkurve soll den Inhalt 0,3
> haben, also hat der linke Teil den Inhalt 0,7. Der Wert 0,7
> wird laut Tabelle bei 0,53 angenommen.
> Das bedeutet, dass die Fläche von [mm]-\infty[/mm] bis
> [mm]\mu+0,53*\sigma[/mm] geht. Laut Aufgabenstellung ist
> [mm]\sigma=0,2.[/mm]
Das verstehe ich nicht, ist nicht [mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{n*p*q} [/mm] = [mm] 0.6*\wurzel{n} [/mm] ?
Woher das 0.53 kommt, konnte ich nun nachvollziehen. Dann stelle ich folgende Gleichung auf:
E(X) + 0.53* [mm] \sigma [/mm] = 300
0.2n + 0.318* [mm] \wurzel{n} [/mm] = 300
Das müsste ich jetzt irgendwie nach n auflösen...
Bin ich auf dem richtigen Weg?
Danke!
Viele Grüsse,
Natascha
> Hilft das weiter?
> Gruß Abakus
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Di 07.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> Danke für deine Antwort.
>
> > gehe von Beginn an zur Normalverteilung über.
> > Der rechte Teil der Glockenkurve soll den Inhalt 0,3
> > haben, also hat der linke Teil den Inhalt 0,7. Der Wert 0,7
> > wird laut Tabelle bei 0,53 angenommen.
> > Das bedeutet, dass die Fläche von [mm]-\infty[/mm] bis
> > [mm]\mu+0,53*\sigma[/mm] geht. Laut Aufgabenstellung ist
> > [mm]\sigma=0,2.[/mm]
> Das verstehe ich nicht, ist nicht [mm]\sigma[/mm] = [mm]\wurzel{n*p*q}[/mm]
> = [mm]0.6*\wurzel{n}[/mm] ?
Sorry, ich meinte p=0,2. Sigma ist dann allerdings [mm]\wurzel{0.16 n}[/mm]=[mm]0.4*\wurzel{n}[/mm]
> Woher das 0.53 kommt, konnte ich nun nachvollziehen. Dann
> stelle ich folgende Gleichung auf:
> E(X) + 0.53* [mm]\sigma[/mm] = 300
> 0.2n + 0.318* [mm]\wurzel{n}[/mm] = 300
>
> Das müsste ich jetzt irgendwie nach n auflösen...
> Bin ich auf dem richtigen Weg?
> Danke!
> Viele Grüsse,
>
> Natascha
> > Hilft das weiter?
> > Gruß Abakus
> >
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Di 07.09.2010 | | Autor: | natascha |
Ok, ich habe jetzt also
0.2n + [mm] 0.212\wurzel{n} [/mm] = 300
Doch wie kriege ich die Wurzel weg? Irgendwie kriege ich das nicht nach n aufgelöst...
Vielen Dank!
Liebe Grüsse,
Natascha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Di 07.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Natascha!
Bedenke, dass gilt:
[mm]n \ = \ \left( \ \wurzel{n} \ \right)^2[/mm]
Ersetze also in Deiner Gleichung [mm]x \ := \ \wurzel{n}[/mm] . Damit erhältst Du eine quadratische Gleichung in [mm]x_[/mm] , welche es zu lösen gilt.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:26 Di 07.09.2010 | | Autor: | natascha |
Hallo,
Ich habe jetzt eine Substitution durchgeführt:
ich erhalte dann 0.2x² + 0.212x - 300 = 0 und mit der Lösungsformel erhalte ich für x1=38.20 und für x2=-39.26 und somit für
n1=1459.32 und n2=1541.43
Heisst das nun, dass für diese beiden n die Bedingungen aus der Aufgabenstellung gelten?
Liebe Grüsse,
Natascha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Di 07.09.2010 | | Autor: | Disap |
Hi!
> Ich habe jetzt eine Substitution durchgeführt:
> ich erhalte dann 0.2x² + 0.212x - 300 = 0 und mit der
> Lösungsformel erhalte ich für x1=38.20 und für x2=-39.26
Das stimmt noch, aber
> und somit für
> n1=1459.32 und n2=1541.43
n2 ist keine Lösung.
Warum?
Ausgangssituation war doch
[mm]0.2*n + 0.212\sqrt{n} - 300[/mm]
Offensichtlich haben wir dort die Wurzelfunktion [mm] $\sqrt{n}$, [/mm] die hat den Defintionsbereich [mm] $\mathbb{R}_0^+$, [/mm] somit ist
[mm] $\sqrt{n_2} [/mm] = -39.26 $
nicht zulässig (also keine Lösung!)
n1 = 1459.5 ist allerdings das exakte Ergebnis.
> Heisst das nun, dass für diese beiden n die Bedingungen
> aus der Aufgabenstellung gelten?
Neeeeein, natürlich nicht. Der Begriff der "Gaußschen Glockenkurve" wurde ja hier schon erwähnt.
Aufgabenstellung war: "P(X >= 300) = 0.3; finde n"
Es soll also gelten (wurde hier auch schon gesagt) $P(X [mm] \le [/mm] 300) = 0.7$
Schwer zu erklären, aber es nicht möglich, dass mit größer werdenen n (größer als n1) die Wahrscheinlichkeit $P(X [mm] \le [/mm] 300) = 0.7$ plötzlich anfängt zu schwanken, also sagen wir
n1 = 1460: $P(X [mm] \le [/mm] 300) = 0.7$
n2 = 1600: $P(X [mm] \le [/mm] 300) = 0.65$
n3 = 2000: $P(X [mm] \le [/mm] 300) = 0.7$
[Mit wachsendem n > n1 gilt: $P(X [mm] \le [/mm] 300) > 0.7$ ]
Also soetwas geht hier nicht. Guck dir am besten die Gaußsche Glockenkurve an, dann siehst du, dass für kein zweites n gelten kann P() = 0.7
MfG
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Di 07.09.2010 | | Autor: | natascha |
Achso, ja jetzt ist es eindeutig klarer, vielen vielen Dank!
Viele liebe Grüsse,
Natascha
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