n zu vorgegebenen e bestimmen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:13 So 17.11.2013 | | Autor: | Taube |
| Aufgabe | Bestimme, ab welchem n die Glieder der Folge um weniger als e vom Grenzwert abweichen.
a) [mm] a_n=(2n-5)/(n+1);\varepsilon\in\{0.1;0.01;0.0001\}
[/mm]
b) [mm] a_n=(n^2+1)/(n^2-1);\varepsilon\in\{0.1;0.01;0.0001\}
[/mm]
c) [mm] a_n=(2n^2+7)/(2-3n^2);\varepsilon\in\{0.1;0.01;0.0001\}
[/mm]
d) [mm] a_n=500-0.9^n*300;\varepsilon\in\{50;10;1\} [/mm] |
Ich habe mir überlegt, jeweils zuerst den Grenzwert der Funktion zu ermitteln, um danach die entsprechende Eintauchzahl zu jedem der gegebenen Radien zu bestimmen.
Für Beispiel a) müsste der Grenzwert ja wohl 2 sein, da beim Umformen auf (2-5/n)/(1+1/n) ersichtlich wird, dass die Glieder 5/n und 1/n gegen 0 verlaufen, sprich g=(2-0)/(1+0)=2.
Suche ich nun die Eintauchzahl, welche genau auf 2.1 [mm] (\varepsilon=0.1) [/mm] liegt, erstelle ich die Gleichung.
(2n-5)/(n+1)=2.1
Wie kann ich nun jedoch n ermitteln. Wie muss ich die Gleichung dazu umformen? War mein bisheriges Verfahren korrekt. Ich würde mich unglaublich freuen, wenn ihr mir bei diesen Aufgaben Hilfe leisten könntet. Dafür wäre ich euch unglaublich dankbar. :)
Ganz liebe Grüsse!
Simon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Taube/Simon, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Danke, dass Du gleich die Formelschreibweise hier im Forum ausprobiert hast (basiert auf LaTeX), und bis auf ein paar Kleinigkeiten hat ea ja auch super geklappt!
> Bestimme, ab welchem n die Glieder der Folge um weniger als
> e vom Grenzwert abweichen.
Du kannst die Formelschreibweise [mm] \varepsilon [/mm] auch im Fließtext verwenden.
> a) [mm]an=(2n-5)/(n+1);\varepsilon\in{0.1;0.01;0.0001}[/mm]
> b) [mm]an=(n^2+1)/(n^2-1);\varepsilon\in{0.1;0.01;0.0001}[/mm]
> c) [mm]an=(2n^2+7)/(2-3n^2);\varepsilon\in{0.1;0.01;0.0001}[/mm]
> d) [mm]an=500-0.9^n*300;\varepsilon\in{50;10;1}[/mm]
Hier fehlen nur die geschweiften Klammern. Das sind die einzigen, die einen "backslash" \ direkt davor benötigen, weil LaTeX sie nämlich sonst für Argumente von Funktionen verwendet, so dass sie nicht angezeigt werden.
> Ich habe mir überlegt, jeweils zuerst den Grenzwert der
> Funktion zu ermitteln, um danach die entsprechende
> Eintauchzahl zu jedem der gegebenen Radien zu bestimmen.
Gute Idee.
> Für Beispiel a) müsste der Grenzwert ja wohl 2 sein, da
> beim Umformen auf (2-5/n)/(1+1/n) ersichtlich wird, dass
> die Glieder 5/n und 1/n gegen 0 verlaufen, sprich
> g=(2-0)/(1+0)=2.
Stimmt.
> Suche ich nun die Eintauchzahl, welche genau auf 2.1
> [mm](\varepsilon=0.1)[/mm] liegt, erstelle ich die Gleichung.
>
> (2n-5)/(n+1)=2.1
Na, das setzt aber allerlei voraus, nämlich
1) die Folge ist (streng) monoton fallend;
2) dass es ein [mm] n\in\IN [/mm] gibt, für das die Gleichung "genau" lösbar ist.
Beides ist doch vorläufig noch gar nicht garantiert. Und nebenbei sind beide Annahmen auch falsch.
> Wie kann ich nun jedoch n ermitteln. Wie muss ich die
> Gleichung dazu umformen? War mein bisheriges Verfahren
> korrekt. Ich würde mich unglaublich freuen, wenn ihr mir
> bei diesen Aufgaben Hilfe leisten könntet. Dafür wäre
> ich euch unglaublich dankbar. :)
Na, die Umformung ist sehr einfach und Stoff der Mittelstufe! Multipliziere die Gleichung erstmal mit $(n+1)$, fasse dann zusammen, und dann...
Aber, wie Du aus meinen obigen Bemerkungen ersehen solltest, ist der Ansatz nicht richtig, weswegen sich eine Lösung der Gleichung erübrigt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 So 17.11.2013 | | Autor: | Taube |
Hallo reverend
Vielen Dank erstmal für deinen Kommentar. Es freut mich sehr, dass ich hier Hilfe bekomme. :)
Ich denke ich verstehe, was du meinst. Auf der linken Seite kommt der Graph ja von oben und nähert sich gegen [mm] -\infty [/mm] hin dem Grenzwert 2. Auf der linken Seite ist es umgekehrt. Der Graph kommt von unten, wobei sich der Graph gegen rechts hin sich stets dem Grenzwert 2 nähert. Die Kurven werden somit quasi an der Ordinate gespiegelt, richtig?
Wenn diese Bedingungen vorhanden sind, so sollte ich aber dennoch mit dieser Methode vorgehen können:
(2n-5)/(n+1)=2.1
-1n/10=7.1
[mm] n=\pm70.1
[/mm]
Wenn ich also 70.1 als negatives und positives Argument in die Funktion einsetze, so müssten dabei die beiden Eintauchzahlen herauskommen, die direkt auf dem Radius 0.1 um den Grenzwert 2 liegen, richtig?
Ich würde meinen, somit hätte ich dann die Aufgabestellung vollständig gelöst.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 So 17.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo reverend
>
> Vielen Dank erstmal für deinen Kommentar. Es freut mich
> sehr, dass ich hier Hilfe bekomme. :)
>
> Ich denke ich verstehe, was du meinst. Auf der linken Seite
> kommt der Graph ja von oben und nähert sich gegen [mm]-\infty[/mm]
> hin dem Grenzwert 2. Auf der linken Seite ist es umgekehrt.
> Der Graph kommt von unten, wobei sich der Graph gegen
> rechts hin sich stets dem Grenzwert 2 nähert. Die Kurven
> werden somit quasi an der Ordinate gespiegelt, richtig?
>
> Wenn diese Bedingungen vorhanden sind, so sollte ich aber
> dennoch mit dieser Methode vorgehen können:
>
> (2n-5)/(n+1)=2.1
> -1n/10=7.1
> [mm]n=\pm70.1[/mm]
Das ist völlige Unfug. Sämtliche Folgenglieder sind kleiner als 2 und werden somit NIE in den Bereich zwischen 2 und 2.1 gelangen.
Abweichung 0,1 kann auch "0,1 weniger" bedeuten.
Ab wann wird 1,9 überschritten?
Gruß Abakus
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> Wenn ich also 70.1 als negatives und positives Argument in
> die Funktion einsetze, so müssten dabei die beiden
> Eintauchzahlen herauskommen, die direkt auf dem Radius 0.1
> um den Grenzwert 2 liegen, richtig?
> Ich würde meinen, somit hätte ich dann die
> Aufgabestellung vollständig gelöst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 So 17.11.2013 | | Autor: | Taube |
Betrachtet man nur die rechte Seite des Graphen, dann ja.
Lg Taube
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:25 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Simon!
Da Du hier jeweils für mehrere unterschiedliche [mm]\varepsilon[/mm]-Werte die zugehörigen n's bestimmen sollst, bietet es sich an, dies jeweils für allgemeines [mm]\varepsilon[/mm] zu lösen.
Da wie oben angedeutet noch nicht bekannt ist, ob Du Dich dem Grenzwert von oben oder unten näherst, lautet die Bestimmungsungleichung:
[mm]\left| \ a_n-a \ \right| \ < \ \varepsilon[/mm]
Machen wir das für Aufgabe a.) mal gemeinsam:
[mm]\left| \ \bruch{2n-5}{n+1}-2 } \ \right| \ = \ \left| \ \bruch{2n-5}{n+1}-\bruch{2*(n+1)}{n+1} \ \right| \ = \ \left| \ \bruch{2n-5-(2n+2)}{n+1} \ \right| \ = \ \left| \ \bruch{2n-5-2n-2}{n+1} \ \right| \ = \ \left| \ \bruch{-7}{n+1} \ \right| \ = \ \bruch{|-7|}{|n+1|} \ = \ \bruch{7}{n+1} \ < \ \varepsilon[/mm]
Nun gilt es also, die Ungleichung [mm]\bruch{7}{n+1} \ < \ \varepsilon[/mm] nach [mm]n \ > \ ...[/mm] umzustellen.
Gruß
Loddar
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
Was für ein Graph? 