\nabla f lipschitz-Stetig? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Di 14.12.2010 | | Autor: | Camille |
| Aufgabe | | Seien [mm] f:\IR^{n} \to \IR [/mm] eine zweimal stetig di fferenzierbare Funktion und [mm] x^{0} \in \IR^{n} [/mm] so, dass die Menge [mm] L(x^{0}):=\{z \in \IR^{n}: f(z) \le f(x^{0})\} [/mm] beschränkt ist. Zeigen Sie, dass [mm] \nabla f [/mm] Lipschitz-stetig auf [mm] L(x^{0}) [/mm] ist. |
Hallo zusammen,
ich blicke bei der oben genannten Aufgabe leider noch garnicht durch. Vielleicht könntet ihr mir ein wenig unter die Arme greifen. Ich danke euch schon mal herzlich für jede Mühe.
Also, gezeigt werden soll also die Lipschitz-Stetigkeit der Funktion [mm] \nabla f [/mm]. Da happert es bei mir schon mit dem Verständis:
[mm] \nabla f: f\left(\vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}}\right) \to \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \\ ... \\ \bruch{\partial f}{\partial x_{n}}} [/mm] Richtig?
Nach Definition der Lipschitz-Stetigkeit muss ich also jetzt zeigen, dass folgendes gilt:
[mm] \left| \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \\ ... \\ \bruch{\partial f}{\partial x_{n}}} - \vektor{\bruch{\partial f}{\partial y_{1}} \\ ... \\ \bruch{\partial f}{\partial y_{n}}} \right| \le L*\left| f\left(\vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}}\right) - f\left(\vektor{y_{1} \\ ... \\ y_{n}}\right) \right| \forall f(x),f(y) [/mm]
Verstehe ich die Aufgabe richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Di 14.12.2010 | | Autor: | Camille |
Ok, wahrscheinlich nicht. Es ist wohl doch so zu verstehen:
$ [mm] \nabla [/mm] f: [mm] \vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}} \to \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \\ ... \\ \bruch{\partial f}{\partial x_{n}}} [/mm] $
So muss dann wohl folgendes gezeigt werden:
$ [mm] \left| \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \\ ... \\ \bruch{\partial f}{\partial x_{n}}} - \vektor{\bruch{\partial f}{\partial y_{1}} \\ ... \\ \bruch{\partial f}{\partial y_{n}}} \right| \le L\cdot{}\left| \vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}} - \vektor{y_{1} \\ ... \\ y_{n}}\right| \forall [/mm] x,y $
Oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich hab Dir hier
https://matheraum.de/read?i=749129
eine Antwort gegeben
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]f:\IR^{n} \to \IR[/mm] eine zweimal stetig
> di fferenzierbare Funktion und [mm]x^{0} \in \IR^{n}[/mm] so, dass
> die Menge [mm]L(x^{0}):=\{z \in \IR^{n}: f(z) \le f(x^{0})\}[/mm]
> beschränkt ist. Zeigen Sie, dass [mm]\nabla f[/mm] Lipschitz-stetig
> auf [mm]L(x^{0})[/mm] ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich blicke bei der oben genannten Aufgabe leider noch
> garnicht durch. Vielleicht könntet ihr mir ein wenig unter
> die Arme greifen. Ich danke euch schon mal herzlich für
> jede Mühe.
>
> Also, gezeigt werden soll also die Lipschitz-Stetigkeit der
> Funktion [mm]\nabla f [/mm]. Da happert es bei mir schon mit dem
> Verständis:
>
> [mm]\nabla f: f\left(\vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}}\right) \to \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \\ ... \\ \bruch{\partial f}{\partial x_{n}}}[/mm]
> Richtig?
>
Na ja, es ist [mm] \nabla [/mm] f= [mm] \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \\ ... \\ \bruch{\partial f}{\partial x_{n}}}
[/mm]
> Nach Definition der Lipschitz-Stetigkeit muss ich also
> jetzt zeigen, dass folgendes gilt:
>
> [mm]\left| \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \\ ... \\ \bruch{\partial f}{\partial x_{n}}} - \vektor{\bruch{\partial f}{\partial y_{1}} \\ ... \\ \bruch{\partial f}{\partial y_{n}}} \right| \le L*\left| f\left(\vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}}\right) - f\left(\vektor{y_{1} \\ ... \\ y_{n}}\right) \right| \forall f(x),f(y)[/mm]
>
> Verstehe ich die Aufgabe richtig?
Nein.
D u mußt zeigen: es ex- ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit:
[mm] $|\nabla f(z_1)-\nabla f(z_2)| \le L||z_1-z_2||$ [/mm] für alle [mm] z_1,z_2 \in[/mm] [mm]L(x^{0})[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:52 Di 14.12.2010 | | Autor: | Camille |
Ok, alles klar. Was gezeigt werden soll ist klar.
Nur das weitere Vorgehen nicht. Ich muss ja sicherlich die Eigenart von [mm] L(x^{0}) [/mm] ausnutzen. Nur wie?!
Gebt mir doch bitte einen Anstoss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Sa 18.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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