nach x und y auflösen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es Sei M die Menge der Punkte (x,y) [mm] \in R^2 [/mm] mit der Eigenschaft [mm] x^2-y^2 [/mm] = [mm] (x-2y)(x^2+y^2). [/mm] Man bestimme alle Punkte (x,y) [mm] \in [/mm] M, für die M lokal weder nach x noch nach y auflösbar ist. |
Guten abend, wie gehe ich an diese Aufgabe ran?
meine idee von der rechten seite löse ich die Klammer.
dann wäre es:
[mm] x^2-y^2 [/mm] = [mm] x^3-2x^2y+xy^2-2y^3 [/mm]
was wäre Schritt 2?
LG
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Hallo ellegance88,
> Es Sei M die Menge der Punkte (x,y) [mm]\in R^2[/mm] mit der
> Eigenschaft [mm]x^2-y^2[/mm] = [mm](x-2y)(x^2+y^2).[/mm] Man bestimme alle
> Punkte (x,y) [mm]\in[/mm] M, für die M lokal weder nach x noch nach
> y auflösbar ist.
> Guten abend, wie gehe ich an diese Aufgabe ran?
>
> meine idee von der rechten seite löse ich die Klammer.
>
> dann wäre es:
> [mm]x^2-y^2[/mm] = [mm]x^3-2x^2y+xy^2-2y^3[/mm]
>
> was wäre Schritt 2?
>
Bilde die Ableitungen nach x und y dieser Gleichung.
Denn die Gleichung ist lokal in einem Punkt nach x bzw. y auflösbar,
wenn die zugehörige Ableitung nach x bzw. y in diesem Punkt nicht verschwindet.
Löse also das Gleichungssytem
[mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left(x^2-y^2 = x^3-2x^2y+xy^2-2y^3 \right)[/mm]
[mm]\bruch{\partial}{\partial y}\left(x^2-y^2 = x^3-2x^2y+xy^2-2y^3 \right)[/mm]
Ausserdem muß dieser Punkt (x,y) auch die Gleichung
[mm]x^2-y^2 = x^3-2x^2y+xy^2-2y^3[/mm]
erfüllen.
> LG
Gruss
MathePower
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wie meinst du das mit nicht verschwindet?
ich habe jetzt die partiellen Ableitungen gebildet:
[mm] f_x [/mm] = [mm] 2x=3x^2-4xy+y^2
[/mm]
[mm] f_y [/mm] = 2y = [mm] 2x^2+2yx-6y^2
[/mm]
und dann habe ich es mit dem verschwinden nicht verstanden
LG
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Hallo ellegance88,
> wie meinst du das mit nicht verschwindet?
>
> ich habe jetzt die partiellen Ableitungen gebildet:
>
> [mm]f_x[/mm] = [mm]2x=3x^2-4xy+y^2[/mm]
>
> [mm]f_y[/mm] = 2y = [mm]2x^2+2yx-6y^2[/mm]
>
> und dann habe ich es mit dem verschwinden nicht verstanden
>
Damit die Gleichung lokal nach x bzw. y aufgelöst werden kann,
muß die partielle Ableitung nach x bzw. y in einem Punkt von 0 verschieden sein.
Das ist hier gleichbedeutend mit
[mm]2x \blue{\not=}3x^2-4xy+y^2[/mm]
bzw.
[mm]2y \blue{\not=} 2x^2+2yx-6y^2[/mm]
Ausserdem muss auch die Gleichung,
von der abgeleitet wurde., erfüllt sein.
>
> LG
>
Gruss
MathePower
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Ok
Habe verstanden was gemeint wurde.
Wie berechne ich denn sowas aus? Bzw. Mit welcher Methode?
LG
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Hallo ellegance,
> Ok
> Habe verstanden was gemeint wurde.
Sicher? 
> Wie berechne ich denn sowas aus? Bzw. Mit welcher
> Methode?
Es gibt nicht für alles einen Standardweg. Hier ist also Dein eigenes mathematisches Geschick gefragt.
Ich greife mal MathePower auf:
> Damit die Gleichung lokal nach x bzw. y aufgelöst
> werden kann,
> muß die partielle Ableitung nach x bzw. y in einem
> Punkt von 0 verschieden sein.
Kleiner Hinweis: Deine Aufgabe fragt danach, wo weder nach x noch nach y aufgelöst werden kann.
> Das ist hier gleichbedeutend mit
>
> [mm] 2x\blue{\not=}3x^2-4xy+y^2
[/mm]
> bzw.
> [mm] 2y\blue{\not=}2x^2+2yx-6y^2
[/mm]
Für Deine Aufgabe interessiert also hier die Gleichheit, nicht die Ungleichheit!
> Ausserdem muss auch die Gleichung,
> von der abgeleitet wurde., erfüllt sein.
Du hast also folgendes Gleichungssystem:
I) [mm] 2x=3x^2-4xy+y^2
[/mm]
II) [mm] 2y=2x^2+2yx-6y^2
[/mm]
III) [mm] x^2-y^2=(x-2y)(x^2+y^2)
[/mm]
Zwei Unbekannte, drei nichtlineare Gleichungen. Vielleicht gibt es keine Lösung, oder eine, oder zwei, oder unendlich viele.
Die Methoden solltest Du aus der Schule kennen - im wesentlichen sind es Einsetzung und Gleichsetzung, und ein bisschen Geschick im Umformen.
Und nur damit Du nicht gleich vor Angst erstarrst: (0;0) ist eine Lösung.
Gibt es noch mehr? Ich würde z.B. mal versuchen, x als Parameter festzusetzen und die ersten beiden Gleichungen nach y aufzulösen. Kriegt man diese Lösungen irgendwie zusammen? Für welche y(x) geht das? Und wenn es da welche gibt, erfüllen die auch Gleichung III?
Grüße
reverend
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Ich habe nun etwas über nichtlineare Gleichungen gegooglet. Da weisen viele auf das Newtonverfahren hin. Würde das bei meiner Aufgabe auch hilfreich sein?
LG
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Hallo nochmal,
> Ich habe nun etwas über nichtlineare Gleichungen
> gegooglet. Da weisen viele auf das Newtonverfahren hin.
> Würde das bei meiner Aufgabe auch hilfreich sein?
Ach, bestimmt. Jedenfalls wenn man Lösungen in numerischer Genauigkeit sucht. Der Aufgabensteller erwartet aber m.E. von Dir eine analytische (und damit genaue algebraische) Lösung. Das ist auch nicht so schwierig, und alle nötigen Tipps hast Du schon.
Mathe ist zwar nicht Rechnen, aber ohne Rechnen geht Mathe halt auch nicht.
lg,
rev
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Hallo ich habe es gestern die ganze Zeit ausprobiert. Anschließend hab ich mit einem Programm die Lösungen gefunden für die erste Gleichung sagt der mir zwei Lösungen an. Einmal 0/0 wie hier erwähnt und einmal (-2/-4). Ich konnte die Umformung nur nicht nachvollziehen aus der ersten Gleichung hat das Programm folgendes gemacht: y=2x- die wurzel aus [mm] x^2+2x. [/mm] Es tut mir leid bin mit dem Handy gerade online deswegen diese Schreibweise. Wenn ich es umforme bleibt noch die [mm] 3x^2 [/mm] und der teil mit xy stehen.
LG
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Hallo nochmal,
> Hallo ich habe es gestern die ganze Zeit ausprobiert.
> Anschließend hab ich mit einem Programm die Lösungen
> gefunden für die erste Gleichung sagt der mir zwei
> Lösungen an. Einmal 0/0 wie hier erwähnt und einmal
> (-2/-4).
Das sind die beiden einzigen ganzzahligen Lösungen. Ansonsten gibt es unendlich viele reelle.
> Ich konnte die Umformung nur nicht nachvollziehen
> aus der ersten Gleichung hat das Programm folgendes
> gemacht: y=2x- die wurzel aus [mm]x^2+2x.[/mm]
Nach p/q-Formel ergibt sich [mm] y=2x\pm\wurzel{x^2+2x}.
[/mm]
> Es tut mir leid bin
> mit dem Handy gerade online deswegen diese Schreibweise.
Hm. Falsches Handy?
> Wenn ich es umforme bleibt noch die [mm]3x^2[/mm] und der teil mit
> xy stehen.
Verstehe ich nicht. Bei mir ist das nicht so. Rechne bei Gelegenheit mal vor, ja?
Mein "brute force"-Weg braucht auch etwas maschinelle Rechenunterstützung, wenn auch erst später.
Die zweite Gleichung per p/q-Formel nach y aufgelöst ergibt [mm] y_{1/2}=\bruch{1}{6}(x-1)\pm\bruch{1}{6}\wurzel{13x^2-2x+1}
[/mm]
Dann setzt man die beiden Lösungen (also eigentlich 4 mögliche Kombinationen) gleich und findet durch Umstellen und Quadrieren heraus, dass gelten muss:
[mm] x(23x^3-72x^2+19x-2)=0
[/mm]
Da haben wir (Satz vom Nullprodukt) also schonmal die Lösung x=0. Mit Einsetzen in die vorher gefundenen Lösungen zeigt sich y=0, und dieses Paar erfüllt auch Gleichung III. Wie schön. Das wussten allerdings schon vorher.
Bleibt also nur noch [mm] 23x^3-72x^2+19x-2=0 [/mm] zu lösen. Da zeigt sich, dass es nur eine reelle Lösung gibt, nämlich
[mm] x=\bruch{1}{69}\left(72+\wurzel[3]{245943-5244\wurzel{87}}+\wurzel[3]{3(81981+1748\wurzel{87}}\right)
[/mm]
Toll, was WolframAlpha so alles kann.
Zu Fuß hätte man aber leicht finden können, dass das Maximum von [mm] f(x)=23x^3-72x^2+19x-2 [/mm] einen Funktionswert <0 hat und die einzige Nullstelle etwa bei knapp weniger als 3 liegt.
Mit Newtonverfahren kriegt man schnell [mm] x\approx{}2.8514189\cdots [/mm] zu fassen.
Von den beiden y-Werten, die man damit erhält, führt nur einer auch zu einer Lösung von Gleichung II. Die zusätzliche (falsche) Lösung hat sich beim zweimaligen Quadrieren mit eingeschlichen, bekanntlich keine umkehrbare Äquivalenzumformung.
Es bleibt also nur das obige x und [mm] y\approx{}1,9835062
[/mm]
Dieses Paar löst zwar die ersten beiden Gleichungen, aber nicht Gleichung III, entfällt also auch.
Daraus folgt: Es gibt nur eine Lösung, und die kannten wir schon.
Vielleicht gibt es einen viel eleganteren Weg, aber dieser hier funktioniert jedenfalls.
Grüße
reverend
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Ok ich lade es mal wenn ich es schaffe heute abend hoch. Aber da stelle ich mir noch eine frage. Diese Aufgabe ist eine klausuraufgabe ohne Taschenrechner. Würde es nicht ausreichen nur die ganzzahligen aufzuschreiben? Ansonsten bräuchte man ja für diese einzige Aufgabe schon mehr als eine halbestunde.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Di 24.09.2013 | | Autor: | chrisno |
ich denke, dass der Weg zur Lösung um Teil über die Anschauung geht.
Schau Dir die beiden Gleichungen an, die aus den partiellen Ableitungen entstanden sind. Kannst Du die graphisch darstellen? (Ich kann es nicht aus dem Stand, aber sie sehen beide nach Ellipsen aus.)
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Hallo.
Ich habe es so umgeformt:
I) [mm] 2x=3x^2-4xy+y^2
[/mm]
0= [mm] -3x^2+4xy+2x-y^2
[/mm]
Wenn ich jetzt plus [mm] y^2 [/mm] mache und die Wurzel ziehe habe ich was anderes raus.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Di 24.09.2013 | | Autor: | chrisno |
Wo ihr so fleißig rechnet: Ich habe etwas anderes für [mm] $\bruch{\partial}{\partial y}$ [/mm] heraus: $2y = [mm] 2x^2 [/mm] -2xy [mm] +6y^2$
[/mm]
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Ja das stimmt. Danke. Habe nochmal nachgeguckt laut Wolfram ist das eine ellipse. Da mein prof gerne sowas nimmt scheint es richtig zu sein :) aber die Umformung muss ich erstmal hinkriegen weiß immer noch nicht wie ich voran komme.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Do 26.09.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Sa 28.09.2013 | | Autor: | capri |
Hey, bin hier gerade zufällig vorbei gekommen. Ich habe so eine ähnliche Aufgabe.
Wenn ich es nach y umgeformt habe, in welcher der 3 Gleichungen setze ich es denn ein?
MfG
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Hallo capri,
> Hey, bin hier gerade zufällig vorbei gekommen. Ich habe so
> eine ähnliche Aufgabe.
> Wenn ich es nach y umgeformt habe, in welcher der 3
> Gleichungen setze ich es denn ein?
Das kann ich ohne Kenntnis der Gleichungen nicht sagen. Da ist ein bisschen Kreativität, Rechengeschick und Überblick gefragt. Schließlich suchst Du ja nach Lösungen, die alle drei Gleichungen erfüllen. Ob da überhaupt das Einsetzungsverfahren das praktischste ist, entscheidet sich von Fall zu Fall.
Mit Kreativität und Überblick meine ich, dass vielleicht auch durch eine Substitution (bspw. u=x+y, v=x-y) das ganze System übersichtlicher wird und man z.B. die erste und die dritte Gleichung dann leicht nach [mm] u^2 [/mm] auflösen kann und schon da sieht, dass nicht beide wahr sein können, oder oder oder...
Aber ehe Du jetzt Deine Gleichungen hier anhängst, mach lieber einen neuen Thread auf. Du kannst ja auf diesen hier verweisen, wenn das fürs Verständnis wichtig ist.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:40 Sa 28.09.2013 | | Autor: | capri |
Ok eine frage hätte ich noch. Kann es nicht sein dass es nur der Punkt 0, 0 ist und die anderen gar nicht zu der gesuchten Menge gehören?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Sa 28.09.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo capri!
Auf welche Aufgaben genau bezieht sich diese Rückfrage jetzt?
Auf die Ausgangsfunktion gepostet von ellegance88? Dann stimmt Deine Behauptung.
Auf Deine (neue) Aufgabenstellung / Funktion? Dann können wir das so weder bestätigen noch dementieren, da uns die Grundlage (sprich: die Aufgabenstellung) nicht bekannt ist.
Gruß
Loddar
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